Problema triangolo scaleno

[Sercata996]

Sapreste risolvere questo problema? Mi ci sto scervellando ma non trovo nulla...
Questo non è il testo originale del problema, ma è quello che ho scritto io ricordando il problema.

"In un triangolo ABC si prendano un punto M su AB e un punto N su AC tali che, tracciando i segmenti MC e NB e definendo O il punto di incontro dei due segmenti, si determinano le seguenti aree :
A (MOB)=9
A (BOC)=26
A (NOC)=8
Calcolare l'area del quadrilatero AMON.

(Sono sicuro di non aver dimenticato alcun dato. Il segmento MN non è parallelo alla base)

[donald_zeka]

Traccia il segmento $AO$ che divide il quadrilatero $AMON$ in $2$ parti, chiamate rispettivamente $x$ e $y$.
Sia ora $A(ABC)=9+26+8+x+y=43+x+y$ .

Considera ora il triangolo $BCM$, esso ha area $35$, inoltre il triangolo $BOM$ ha la stessa base di $BCM$ e ha area pari a $9$, pertanto l'altezza di $BOM$ è $9/35$ dell'altezza del triangolo $BCM $relativa ad $AB$, che è la stessa del triangolo $ABC$.
Si fa lo stesso ragionamento con il triangolo $BCN$ e si arriva a dire che l'altezza del triangolo $CON$ è $8/34$ dell'altezza di $ABC$ relativa ad $AC$.

Considera ora i triangoli $AOB$ e $AOC$, essi hanno le basi coincidenti con $AB$ e $AC$ e inoltre le loro altezza sono rispettivamente $9/35$ e $8/34$ delle relative altezze di $ABC$, pertanto anche le loro aree saranno proporzionali allo stesso modo:

${ ( 9+x=9/35(43+x+y) ),( 8+y=8/34(43+x+y) ):}$

Da qui sommando membro a membro...

[giammaria2]

Do anche un'altra soluzione; il risultato è lo stesso di Vulplasir. Parto dalla stessa costruzione, con gli stessi $x,y$ ($x$ è l'area di AMO) ed indico con $s=x+y$ l'area richiesta.
Due triangoli con la stessa altezza hanno aree proporzionali alle basi, quindi
$A(AMO):A(MBO)=AM:MB->x:9=AM:MB$
Per lo stesso motivo si ha
$A(AMC):A(MBC)=AM:MB->(s+8):(26+9)=AM:MB$
Dal confronto di queste due formule ricavo
$x:9=(s+8):35->x=(9(s+8))/35$

In modo del tutto analogo ottengo
$y:8=(s+9):34->y=(8(s+9))/34$

Sommando membro a membro ho l'equazione risolvente
$s=(9(s+8))/35+(8(s+9))/34$
che, a calcoli fatti, dà la soluzione $s=1242/151=8.225...$
Piccolo inconveniente: in problemi di questo tipo, di solito i dati sono tali da fornire risposte intere mentre qui non succede.