Problema teoria dei numeri
Verificare se esistono multipli di 5 secondo n tali che la somma dei loro divisori sia multiplo di 9 secondo n.
Sto cercando un modo per risolvere questo quesito da parecchi giorni. Qualcuno ha qualche idea?
Sto cercando un modo per risolvere questo quesito da parecchi giorni. Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Potresti spiegare che significa multipli di 5 "secondo n" e multipli di 9 "secondo n"?
In particolare la parte di cui non capisco il significato è quel "secondo n".
In particolare la parte di cui non capisco il significato è quel "secondo n".
Secondo me, "multiplo di 5 secondo n" significa "dato dalla formula $5n$": il problema chiederebbe quindi se esistono numeri del tipo $5n$ tali che la somma dei loro divisori sia $9n$, ovviamente con lo stesso $n$.
Ho cercato la risposta, ma non l'ho trovata per il caso in cui $n$ è un multiplo dispari di 5: negli altri casi non esistono numeri di quel tipo (a parte lo zero). Inoltre la mia risposta è abbastanza brutta e contorta; probabilmente il problema va impostato in altro modo.
Ho cercato la risposta, ma non l'ho trovata per il caso in cui $n$ è un multiplo dispari di 5: negli altri casi non esistono numeri di quel tipo (a parte lo zero). Inoltre la mia risposta è abbastanza brutta e contorta; probabilmente il problema va impostato in altro modo.
Avrei trovato che il problema ammette la (sola ?) soluzione $n=2$. In effetti moltiplicando per 5 si ottiene il numero 10, i cui divisori sono nell'ordine : $1, 2,5,10$ ( tra i divisori ho incluso anche quelli "banali" ovvero l'unità ed il numero stesso.
Se non è così lasciate perdere il seguito...
). Ora accade che la somma di tali divisori è $18$ che è esattamente
$9 cdot 2$.
Vediamo ora il ragionamento.
Parto da una ipotesi "minimalista" e cioè che, scomponendo $n$ in fattori primi, esso sia la potenza intera di un numero primo p :
$n=p^r$
Pertanto : $5n=5p^r$
I divisori di tale quantità sono :
$1,5,p,p^2,p^3,..,p^r,5p,5p^3,5p^3,...,5p^r$
La somma di tutti questi divisori è :
$6+6p+6p^2+6p^3+...+6p^r$
Per le ipotesi del problema deve aversi :
$6+6p+6p^2+6p^3+...+6p^r=9p^r$
Da cui :
(1) $2(1+p+p^2+p^3+...+p^r)=3p^r$
Poiché il primo membro di tale eguaglianza è pari, lo è pure $3p^r$ ma $3$ è dispari e $p$ è primo e dunque non può che essere $p=2$. Sostituendo in (1):
$2(1+2+2^2+2^3+...+2^r)=3 cdot 2^r$
cioè :
$2 cdot{2^{r+1}-1}/{2-1}=3 cdot 2^r$
Ovvero :
$4 cdot 2^r-2=3 cdot 2^r-> 2^r=2->r=1$ e quindi $n=2^1=2$
Supponiamo ora che $n$ sia il prodotto di due fattori (di cui uno è il $2$ già trovato) :
$n=2q^s$ ( con q numero primo).
Si ha :
$5n=2 cdot 5 cdot q^s$
Ripetendo il ragionamento precedente si ha che i divisori di $5n$ sono ora :
$1,2,5,10,q,q^2,q^3,..,q^r,2q,2q^2,2q^3,...,2q^r,5q,5q^2,5q^3,...,5q^r,10q,10q^2,10q^3,..,10q^r$
La somma di tali divisori è
$ 18(1+q+q^2+q^3+...+q^s)= 18{q^{s+1}-1}/{q-1} $ e deve aversi :
$18{q^{s+1}-1}/{q-1}=9 cdot 2q^s$ da cui si trae facilmente che $ s=0 $.
Pertanto si ha di nuovo $n=2 cdot q^0=2$
Il processo ha termine...
Se non è così lasciate perdere il seguito...
). Ora accade che la somma di tali divisori è $18$ che è esattamente$9 cdot 2$.
Vediamo ora il ragionamento.
Parto da una ipotesi "minimalista" e cioè che, scomponendo $n$ in fattori primi, esso sia la potenza intera di un numero primo p :
$n=p^r$
Pertanto : $5n=5p^r$
I divisori di tale quantità sono :
$1,5,p,p^2,p^3,..,p^r,5p,5p^3,5p^3,...,5p^r$
La somma di tutti questi divisori è :
$6+6p+6p^2+6p^3+...+6p^r$
Per le ipotesi del problema deve aversi :
$6+6p+6p^2+6p^3+...+6p^r=9p^r$
Da cui :
(1) $2(1+p+p^2+p^3+...+p^r)=3p^r$
Poiché il primo membro di tale eguaglianza è pari, lo è pure $3p^r$ ma $3$ è dispari e $p$ è primo e dunque non può che essere $p=2$. Sostituendo in (1):
$2(1+2+2^2+2^3+...+2^r)=3 cdot 2^r$
cioè :
$2 cdot{2^{r+1}-1}/{2-1}=3 cdot 2^r$
Ovvero :
$4 cdot 2^r-2=3 cdot 2^r-> 2^r=2->r=1$ e quindi $n=2^1=2$
Supponiamo ora che $n$ sia il prodotto di due fattori (di cui uno è il $2$ già trovato) :
$n=2q^s$ ( con q numero primo).
Si ha :
$5n=2 cdot 5 cdot q^s$
Ripetendo il ragionamento precedente si ha che i divisori di $5n$ sono ora :
$1,2,5,10,q,q^2,q^3,..,q^r,2q,2q^2,2q^3,...,2q^r,5q,5q^2,5q^3,...,5q^r,10q,10q^2,10q^3,..,10q^r$
La somma di tali divisori è
$ 18(1+q+q^2+q^3+...+q^s)= 18{q^{s+1}-1}/{q-1} $ e deve aversi :
$18{q^{s+1}-1}/{q-1}=9 cdot 2q^s$ da cui si trae facilmente che $ s=0 $.
Pertanto si ha di nuovo $n=2 cdot q^0=2$
Il processo ha termine...
Vero, avevo trascurato la soluzione $n=2$. I casi da me considerati sono stati:
- la scomposizione in fattori primi di $n$ è $n=a_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$, in cui le $a_k$ sono numero primi diversi da $5$ e $p_k>=1$ $AA$ $ k$;
- la scomposizione in fattori primi di $n$ è $n=5^q 2^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$, in cui le $a_k$ sono numero primi diversi da $2$ e da $5$, con $q>=1$ e $p_k>=1$ $AA$ $ k$.
Noto che anche la tua soluzione non considera il caso in cui $n$ è un multiplo dispari di $5$.
- la scomposizione in fattori primi di $n$ è $n=a_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$, in cui le $a_k$ sono numero primi diversi da $5$ e $p_k>=1$ $AA$ $ k$;
- la scomposizione in fattori primi di $n$ è $n=5^q 2^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$, in cui le $a_k$ sono numero primi diversi da $2$ e da $5$, con $q>=1$ e $p_k>=1$ $AA$ $ k$.
Noto che anche la tua soluzione non considera il caso in cui $n$ è un multiplo dispari di $5$.
Non mi piacciono i problemi senza una soluzione; poiché, ad 11 giorni di distanza, la soluzione più ampia (anche se incompleta) è la mia, la posto prima di dimenticarla.
.
Premessa: calcolare la somma dei divisori di un numero.
Si intende di considerare anche $1$ ed il numero stesso.
Se la scomposizione in fattori primi di un numero $n$ è
(1) $n=a_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$,
i divisori che non contengono $a_2,a_3,...a_n$ sono $1,a_1,a_1^2...a_1^(p_1)$ e la loro somma è
$1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1)$
I divisori che non contengono $a_3,..., a_n$ sono quelli già indicati, quelli stessi moltiplicati per $a_2$, o per $a_2^2$, eccetera e la loro somma è
$(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))+a_2(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))+...+a_2^(p_2)(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))=$
$=(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))$
Continuando con questo ragionamento, troviamo che la somma di tutti i divisori di $n$ è
$(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))...(1+a_n+a_n^2+...+a_n^(p_n))$
.
Veniamo al nostro problema, distinguendo due casi.
I caso: $n$ non è multiplo di 5.
Considerando i divisori di $5n$ ed indicando con la (1) la scomposizione in fattori di $n$, deve succedere che
$(1+5)(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))...(1+a_n+a_n^2+...+a_n^(p_n))=9a_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$
Il primo membro è pari, quindi deve esserlo anche il secondo e perciò si ha $a_1=2$. Dividendo opportunamente, la formula precedente può essere scritta come
(2) $(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))/a_1^(p_1)*(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))/a_2^(p_2)*...*(1+a_n+a_n^2+...+a_n^(p_n))/a_n^(p_n)=3/2$
Indico con $F_k$ la generica frazione e per comodità trascuro gli indici quando mi riferisco ad un'unica frazione. Si ha
$F=(1+a+a^2+...+a^p)/a^p=(a^(p+1)-1)/(a^p(a-1))=(a-1/a^p)/(a-1)$
All'aumentare di $p$, aumenta $a^p$, quindi diminuisce $1/a^p$ ed aumenta $F$. Poiché $p>=1$ si ottiene
$F>=(a-1/a)/(a-1)=(a^2-1)/(a(a-1))=(a+1)/a$
da cui si deduce $F_k>1$ ed $F_1>=3/2$, essendo $a_1=2$. Ne consegue
$F_1*F_2*...*F_n>=3/2$
e quindi la (2) può valere solo se $p_1=1$ e non ci sono altri fattori oltre al $2$, cioè solo per $n=2$.
.
II caso: $n$ è multiplo di 5 e precisamente nella sua fattorizzazione c'è $5^q$
Considerando a parte il fattore $5$, deve quindi succedere che
[size=95]$(1+5+...+5^(q+1))(1+a_1+...+a_1^(p_1))(1+a_2+...+a_2^(p_2))...(1+a_n+...+a_n^(p_n))=9*5^qa_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$[/size]
che, con opportuna divisione, scrivo come
$(1+5+..+5^(q+1))/5^(q+1)(1+a_1+...+a_1^(p_1))/a_1^(p_1)*(1+a_2+...+a_2^(p_1))/a_2^(p_2)*...*(1+a_n+...+a_n^(p_n))/a_n^(p_n)=9/5$
Indicando con $F_q$ la prima frazione e ricordando che $q>=1$ ho
$F_q=(5^(q+2)-1)/(5^(q+1)(5-1))=(5-1/5^(q+1))/4>=(5-1/25)/4=31/25$
Se $n$ è pari, si ha $a_1=2->F_1>=3/2$ e
$F_q*F_1*F_2*...*F_n>=F_q*F_1>=31/25*3/2=93/50>9/5$
e quindi l'eguaglianza richiesta non può valere.
Il ragionamento cade se $n$ è dispari: a seconda della fattorizzazione di $n$, il primo membro può essere sia maggiore che minore di $9/5$ (e quindi forse anche uguale).
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Premessa: calcolare la somma dei divisori di un numero.
Si intende di considerare anche $1$ ed il numero stesso.
Se la scomposizione in fattori primi di un numero $n$ è
(1) $n=a_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$,
i divisori che non contengono $a_2,a_3,...a_n$ sono $1,a_1,a_1^2...a_1^(p_1)$ e la loro somma è
$1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1)$
I divisori che non contengono $a_3,..., a_n$ sono quelli già indicati, quelli stessi moltiplicati per $a_2$, o per $a_2^2$, eccetera e la loro somma è
$(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))+a_2(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))+...+a_2^(p_2)(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))=$
$=(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))$
Continuando con questo ragionamento, troviamo che la somma di tutti i divisori di $n$ è
$(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))...(1+a_n+a_n^2+...+a_n^(p_n))$
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Veniamo al nostro problema, distinguendo due casi.
I caso: $n$ non è multiplo di 5.
Considerando i divisori di $5n$ ed indicando con la (1) la scomposizione in fattori di $n$, deve succedere che
$(1+5)(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))...(1+a_n+a_n^2+...+a_n^(p_n))=9a_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$
Il primo membro è pari, quindi deve esserlo anche il secondo e perciò si ha $a_1=2$. Dividendo opportunamente, la formula precedente può essere scritta come
(2) $(1+a_1+a_1^2+...+a_1^(p_1))/a_1^(p_1)*(1+a_2+a_2^2+...+a_2^(p_2))/a_2^(p_2)*...*(1+a_n+a_n^2+...+a_n^(p_n))/a_n^(p_n)=3/2$
Indico con $F_k$ la generica frazione e per comodità trascuro gli indici quando mi riferisco ad un'unica frazione. Si ha
$F=(1+a+a^2+...+a^p)/a^p=(a^(p+1)-1)/(a^p(a-1))=(a-1/a^p)/(a-1)$
All'aumentare di $p$, aumenta $a^p$, quindi diminuisce $1/a^p$ ed aumenta $F$. Poiché $p>=1$ si ottiene
$F>=(a-1/a)/(a-1)=(a^2-1)/(a(a-1))=(a+1)/a$
da cui si deduce $F_k>1$ ed $F_1>=3/2$, essendo $a_1=2$. Ne consegue
$F_1*F_2*...*F_n>=3/2$
e quindi la (2) può valere solo se $p_1=1$ e non ci sono altri fattori oltre al $2$, cioè solo per $n=2$.
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II caso: $n$ è multiplo di 5 e precisamente nella sua fattorizzazione c'è $5^q$
Considerando a parte il fattore $5$, deve quindi succedere che
[size=95]$(1+5+...+5^(q+1))(1+a_1+...+a_1^(p_1))(1+a_2+...+a_2^(p_2))...(1+a_n+...+a_n^(p_n))=9*5^qa_1^(p_1)a_2^(p_2)...a_n^(p_n)$[/size]
che, con opportuna divisione, scrivo come
$(1+5+..+5^(q+1))/5^(q+1)(1+a_1+...+a_1^(p_1))/a_1^(p_1)*(1+a_2+...+a_2^(p_1))/a_2^(p_2)*...*(1+a_n+...+a_n^(p_n))/a_n^(p_n)=9/5$
Indicando con $F_q$ la prima frazione e ricordando che $q>=1$ ho
$F_q=(5^(q+2)-1)/(5^(q+1)(5-1))=(5-1/5^(q+1))/4>=(5-1/25)/4=31/25$
Se $n$ è pari, si ha $a_1=2->F_1>=3/2$ e
$F_q*F_1*F_2*...*F_n>=F_q*F_1>=31/25*3/2=93/50>9/5$
e quindi l'eguaglianza richiesta non può valere.
Il ragionamento cade se $n$ è dispari: a seconda della fattorizzazione di $n$, il primo membro può essere sia maggiore che minore di $9/5$ (e quindi forse anche uguale).
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