Problema TDN su numeri e cifre
Dimostrare che in una successione di 18 numeri consecutivi da 3 cifre ne esiste almeno uno che è divisibile per la somma delle sue cifre.
Ritiro tutto quello che ho detto sulla dimostrazione con 9 perché,come avete fatto giustamente notare, è una fesseria e chiarisco il mio abbozzo.
Allora io ho approcciato così: detti a,b,c le 3 cifre del numero che consideriamo abbiamo tutte comprese tra 0 e 9 con a diverso da 0. Cerchiamo 100a+10b+c=a+b+c=0 (mod a+b+c). Quindi portando a sinistra è 99a+9b=0 (mod a+b+c) da cui 9(11a+b)=0=100a+10b+c
ovvero per ogni numero del tipo 9(11a+b) scelti a e b esiste un numero 100a+10b+c che sia divisibile per a+b+c (dove c va trovato a parte). Questo significa che sicuramente tra 2 numeri che rispettano le condizioni abbiamo una differenza minima di 19 e non 18...
Ritiro tutto quello che ho detto sulla dimostrazione con 9 perché,come avete fatto giustamente notare, è una fesseria e chiarisco il mio abbozzo.
Allora io ho approcciato così: detti a,b,c le 3 cifre del numero che consideriamo abbiamo tutte comprese tra 0 e 9 con a diverso da 0. Cerchiamo 100a+10b+c=a+b+c=0 (mod a+b+c). Quindi portando a sinistra è 99a+9b=0 (mod a+b+c) da cui 9(11a+b)=0=100a+10b+c
ovvero per ogni numero del tipo 9(11a+b) scelti a e b esiste un numero 100a+10b+c che sia divisibile per a+b+c (dove c va trovato a parte). Questo significa che sicuramente tra 2 numeri che rispettano le condizioni abbiamo una differenza minima di 19 e non 18...
Risposte
Scusa, non credo di aver capito, ma... Preso un numero qualsiasi, dopo alpiù 8 numeri becco un multiplo di 9...
E magari è dispari con somma delle cifre uguale a $18$.
I multipli di 9 mi sembrano un caso a parte: e se la somma delle cifre fosse 13?
Per questo problema io ho dato una dimostrazione che parte dal seguente lemma:
Considerando come numeri di 2 cifre anche quelli che iniziano con $0$, in una successione di 18 numeri consecutivi di 2 cifre ne esiste almeno uno che è divisibile per la somma delle sue cifre.
Volete provare a dimostrare almeno il lemma, e poi magari proseguire utilizzandolo? Meglio evitare l'aritmetica modulare, poco nota nelle secondarie: per quello che ci serve, si possono esprimere gli stessi concetti a livello più elementare anche se più lungo.
Per questo problema io ho dato una dimostrazione che parte dal seguente lemma:
Considerando come numeri di 2 cifre anche quelli che iniziano con $0$, in una successione di 18 numeri consecutivi di 2 cifre ne esiste almeno uno che è divisibile per la somma delle sue cifre.
Volete provare a dimostrare almeno il lemma, e poi magari proseguire utilizzandolo? Meglio evitare l'aritmetica modulare, poco nota nelle secondarie: per quello che ci serve, si possono esprimere gli stessi concetti a livello più elementare anche se più lungo.
Cerco di capire come evolve la somma delle cifre... 0,1,2,3,4,...,9,1,2,3,...,9,10,2,3,...,11,3,...,12,...,4,...,13,5,...,14,6,...,15,7,...,16,8,...,17,9,...,18
Ok. Ora considero una stringa di 18 numeri consecutivi. In ogni caso, sono costretto a "prendere dentro" i 18 numeri anche un multiplo di 10... E questo avrà come somma un numero da 1 a 9... Ora cerchiamo di capire se è possibile prendere un 10k, senza prendere un multiplo di j (con j=1,2,...,9). Beh, dato che prendo 18 numeri consecutivi, essi avranno multipli di tutti i numeri... Perchè, chiamato un numero j, e il primo della successione di 18 numeri w, avrò al limite che w=kj+1, ma allora dopo j-1 numeri (che sappiamo essere <9) incontreró (k+1)*j.
Puó andare giammaria?
Ok. Ora considero una stringa di 18 numeri consecutivi. In ogni caso, sono costretto a "prendere dentro" i 18 numeri anche un multiplo di 10... E questo avrà come somma un numero da 1 a 9... Ora cerchiamo di capire se è possibile prendere un 10k, senza prendere un multiplo di j (con j=1,2,...,9). Beh, dato che prendo 18 numeri consecutivi, essi avranno multipli di tutti i numeri... Perchè, chiamato un numero j, e il primo della successione di 18 numeri w, avrò al limite che w=kj+1, ma allora dopo j-1 numeri (che sappiamo essere <9) incontreró (k+1)*j.
Puó andare giammaria?
Direi di sì. Consiglio di non tenere conto del mio precedente ragionamento perché rivedendolo ho notato un errore.
"kobeilprofeta":
E questo avrà come somma un numero da 1 a 9...
Non ho capito, $990$ ha somma $18$ no?
Mi sembrava più corretto il tuo primo messaggio, dove praticamente eri arrivato alla soluzione, ti mancava solo qualche piccolo accorgimento per concludere.
Basta guardare i multipli di 9 ma non tutti vanno bene.
"xXStephXx":
[quote="kobeilprofeta"]E questo avrà come somma un numero da 1 a 9...
Non ho capito, $990$ ha somma $18$ no?
Mi sembrava più corretto il tuo primo messaggio, dove praticamente eri arrivato alla soluzione, ti mancava solo qualche piccolo accorgimento per concludere.
Basta guardare i multipli di 9 ma non tutti vanno bene.[/quote]Io,come consigliato da Giammaria, ero passato prima dal caso di numeri a due cifre...
Anagami sei proprio una schiappa ti faccio vedere io come si risolve.
Dimostrazione "artigianale":
1) Dimostro che un numero di 3 cifre divisibile per 9 ha la somma delle cifre che è multiplo di 9. Dato 100a+10b+c=9=0 (mod9) dove a,b,c sono le 3 cifre, abbiamo che 100a+10b+c=9(11a+b) (mod9) da cui a+b+c=0 (mod9) da cui la tesi.
2)La somma delle 3 cifre di un numero divisibile per 9 può fare 9,18 o 27. Escludendo 999 come l'unico numero che fa 27 e non soddisfa le condizioni abbiamo che o la somma delle cifre fa 9 oppure 18. Ma allora ogni multiplo di 9 pari soddisfa le condizioni perché è 9*2n che in ogni caso è sia divisibile per 9 che per 18.
3) Una stringa di 18 numeri contiene almeno 2 multipli di 9 di cui uno pari e l'altro dispari (o viceversa) da cui la tesi.
Grazie xXStephXx.
Dimostrazione "artigianale":
1) Dimostro che un numero di 3 cifre divisibile per 9 ha la somma delle cifre che è multiplo di 9. Dato 100a+10b+c=9=0 (mod9) dove a,b,c sono le 3 cifre, abbiamo che 100a+10b+c=9(11a+b) (mod9) da cui a+b+c=0 (mod9) da cui la tesi.
2)La somma delle 3 cifre di un numero divisibile per 9 può fare 9,18 o 27. Escludendo 999 come l'unico numero che fa 27 e non soddisfa le condizioni abbiamo che o la somma delle cifre fa 9 oppure 18. Ma allora ogni multiplo di 9 pari soddisfa le condizioni perché è 9*2n che in ogni caso è sia divisibile per 9 che per 18.
3) Una stringa di 18 numeri contiene almeno 2 multipli di 9 di cui uno pari e l'altro dispari (o viceversa) da cui la tesi.
Grazie xXStephXx.
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