Problema sulle funzioni
Buonasera, sto risolvendo questo problema tratto da giochi matematici.
"Cercare il numero di funzioni f che mappano l'insieme {1,2,3,4} in se stesso tali che l'immagine della funzione f(x) sia la stessa dell'immagine della funzione f(f(x))."
Ho suddiviso il problema in casi.
1) Se l'immagine di f(x) è {1,2,3,4}, il range di f(f(x)) è di nuovo {1, 2, 3, 4}. Questo accade per 4! casi.
2) Se l'immagine di f(x) ha 3 elementi di cui due uguali, ho riscontrato i casi:
{3,3,1,4}, {3,3,2,4}, {3,3,4,1}, {3,3,4,2}, {1,1, 4,3}, {1,1,3,4}, {2,2,3,4}, {2,2,4,3}, {4,4,1,3}, {4,4,2,3}, {4,4,3,1}, {4,4,3,2} se le immagini dei numeri 1 e 2 sono identiche (12 casi totali).
Questo l'ho ripetuto per le rimanenti coppie di immagini (1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4). In totale ci sono 6 coppie possibili che riportano la stessa immagine.
Quindi il totale dei casi mi risulta 12 x 6 = 72.
3) Se l'immagine di f(x) ha 2 elementi, ho riscontrato i casi: {3,3,1,1} {3,3,2,2} {1,1,3,3} {1,1,4,4} {2,2,3,3} {2,2,4,4} {4,4,1,1} {4,4,2,2} {1,2,1,2} {1,4,1,4} {2,3,2,3} {3,2,3,2} {3,4,3,4} {4,3,4,3} {4,1,4,1} {2,1,2,1} {1,2,2,1} {1,3,3,1} {2,1,1,2}{2,4,4,2} {3,1,1,3} {3,4,4,3} {4,2,2,4} {4,3,3,4}
in tutto 24 casi.
4) L'immagine ha 3 elementi uguali: {1,1,1,4} {2,2,2,4} {3,3,3,4}
{1,1,3,1} {2,2,3,2} {4,4,3,4}
{1,2,1,1} {3,2,3,3} {4,2,4,4}
{1,2,2,2} {1,3,3,3}{1,4,4,4}
in totale 12 casi
5) Le immagini sono identiche: 4 casi
Calcolando la somma di tutto: 24 + 72 + 24 + 12 + 4 = 136 casi.
La risposta al quesito è 148.
Ho riprovato più volte ma non trovo altre funzioni che soddisfano la proprietà e quindi ad ottenere il risultato indicato.
Ringrazio in anticipo chiunque vogli cimentarsi nella risoluzione del problema.
"Cercare il numero di funzioni f che mappano l'insieme {1,2,3,4} in se stesso tali che l'immagine della funzione f(x) sia la stessa dell'immagine della funzione f(f(x))."
Ho suddiviso il problema in casi.
1) Se l'immagine di f(x) è {1,2,3,4}, il range di f(f(x)) è di nuovo {1, 2, 3, 4}. Questo accade per 4! casi.
2) Se l'immagine di f(x) ha 3 elementi di cui due uguali, ho riscontrato i casi:
{3,3,1,4}, {3,3,2,4}, {3,3,4,1}, {3,3,4,2}, {1,1, 4,3}, {1,1,3,4}, {2,2,3,4}, {2,2,4,3}, {4,4,1,3}, {4,4,2,3}, {4,4,3,1}, {4,4,3,2} se le immagini dei numeri 1 e 2 sono identiche (12 casi totali).
Questo l'ho ripetuto per le rimanenti coppie di immagini (1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4). In totale ci sono 6 coppie possibili che riportano la stessa immagine.
Quindi il totale dei casi mi risulta 12 x 6 = 72.
3) Se l'immagine di f(x) ha 2 elementi, ho riscontrato i casi: {3,3,1,1} {3,3,2,2} {1,1,3,3} {1,1,4,4} {2,2,3,3} {2,2,4,4} {4,4,1,1} {4,4,2,2} {1,2,1,2} {1,4,1,4} {2,3,2,3} {3,2,3,2} {3,4,3,4} {4,3,4,3} {4,1,4,1} {2,1,2,1} {1,2,2,1} {1,3,3,1} {2,1,1,2}{2,4,4,2} {3,1,1,3} {3,4,4,3} {4,2,2,4} {4,3,3,4}
in tutto 24 casi.
4) L'immagine ha 3 elementi uguali: {1,1,1,4} {2,2,2,4} {3,3,3,4}
{1,1,3,1} {2,2,3,2} {4,4,3,4}
{1,2,1,1} {3,2,3,3} {4,2,4,4}
{1,2,2,2} {1,3,3,3}{1,4,4,4}
in totale 12 casi
5) Le immagini sono identiche: 4 casi
Calcolando la somma di tutto: 24 + 72 + 24 + 12 + 4 = 136 casi.
La risposta al quesito è 148.
Ho riprovato più volte ma non trovo altre funzioni che soddisfano la proprietà e quindi ad ottenere il risultato indicato.
Ringrazio in anticipo chiunque vogli cimentarsi nella risoluzione del problema.
Risposte
Onestamente non ho capito cosa fa la $f(x)$.
Dato $x={a,b,c,d}$ come faccio a trovare $f(x) = {m, n, o, p}$ ?
Dato $x={a,b,c,d}$ come faccio a trovare $f(x) = {m, n, o, p}$ ?
Io ragionerei così: tutte le funzioni la cui immagine ha $1$ o $4$ elementi vanno bene, e queste sono $4+24$. D'ora in avanti indicherò con $A,B,C,D$ elementi distinti di $\{1,2,3,4\}$.
Se l'immagine ha $2$ elementi possono succedere solo due cose: o ci sono due coppie di elementi con la stessa immagine, oppure ci sono $3$ elementi con una stessa immagine e il quarto con un'immagine diversa. Ora, quante sono quelle del primo caso? Beh $1$ deve avere la stessa immagine di un altro elemento, quindi ci sono $3$ modi di dividere il dominio in due pezzi, per così dire. Adesso supponi che $1$ ed $A$ abbiano la stessa immagine, così come $B$ e $C$. L'immagine di $1$ ed $A$ si può scegliere in $4$ modi. Scelta quella, per l'immagine di $B$ e $C$ ci sono solo due scelte, perchè se l'immagine di $1$ ed $A$ sta in $\{1,A\}$ allora quella di $B$ e $C$ deve stare in $\{B,C\}$, e viceversa. In tutto quindi ho $3\cdot 4\cdot 2=24$ funzioni.
Nel secondo caso invece devo scegliere un blocco di $3$ elementi $A,B,C$ on la stessa immagine, e posso farlo in $4$ modi. Ora, se l'immagine di $A,B,C$ è in $\{A,B,C\}$ allora l'immagine di $D$ dev'essere $D$. Viceversa, se l'immagine di $A,B,C$ è $D$ allora l'immagine di $D$ deve stare in $\{A,B,C\}$. In tutto quindi ho $4\cdot 3\cdot 2=24$ funzioni.
Infine devo contare le funzioni la cui immagine ha $3$ elementi. Qui necessariamente devo avere esattamente una coppia di elementi con la stessa immagine, e ci sono $6$ coppie. Siano $A$ e $B$ gli elementi con la stessa immagine. Se la loro immagine sta in $\{A,B\}$ allora l'immagine di $\{C,D\}$ dev'essere esattamente $\{C,D\}$. Quindi ho $4$ scelte. Se la loro immagine è $C$, allora o $f(C)\in \{A,B\}$ e $f(D)=D$ oppure $f(C)=D$ e $f(D)\in \{A,B\}$. Sono altre $4$ scelte, ma il ruolo di $C$ e $D$ è simmetrico e quindi ne devo aggiungere altre $4$. In totale ho $6\cdot (4+8)=72$ funzioni.
Sommando tutto, $4+24+24+24+72=148$.
Se l'immagine ha $2$ elementi possono succedere solo due cose: o ci sono due coppie di elementi con la stessa immagine, oppure ci sono $3$ elementi con una stessa immagine e il quarto con un'immagine diversa. Ora, quante sono quelle del primo caso? Beh $1$ deve avere la stessa immagine di un altro elemento, quindi ci sono $3$ modi di dividere il dominio in due pezzi, per così dire. Adesso supponi che $1$ ed $A$ abbiano la stessa immagine, così come $B$ e $C$. L'immagine di $1$ ed $A$ si può scegliere in $4$ modi. Scelta quella, per l'immagine di $B$ e $C$ ci sono solo due scelte, perchè se l'immagine di $1$ ed $A$ sta in $\{1,A\}$ allora quella di $B$ e $C$ deve stare in $\{B,C\}$, e viceversa. In tutto quindi ho $3\cdot 4\cdot 2=24$ funzioni.
Nel secondo caso invece devo scegliere un blocco di $3$ elementi $A,B,C$ on la stessa immagine, e posso farlo in $4$ modi. Ora, se l'immagine di $A,B,C$ è in $\{A,B,C\}$ allora l'immagine di $D$ dev'essere $D$. Viceversa, se l'immagine di $A,B,C$ è $D$ allora l'immagine di $D$ deve stare in $\{A,B,C\}$. In tutto quindi ho $4\cdot 3\cdot 2=24$ funzioni.
Infine devo contare le funzioni la cui immagine ha $3$ elementi. Qui necessariamente devo avere esattamente una coppia di elementi con la stessa immagine, e ci sono $6$ coppie. Siano $A$ e $B$ gli elementi con la stessa immagine. Se la loro immagine sta in $\{A,B\}$ allora l'immagine di $\{C,D\}$ dev'essere esattamente $\{C,D\}$. Quindi ho $4$ scelte. Se la loro immagine è $C$, allora o $f(C)\in \{A,B\}$ e $f(D)=D$ oppure $f(C)=D$ e $f(D)\in \{A,B\}$. Sono altre $4$ scelte, ma il ruolo di $C$ e $D$ è simmetrico e quindi ne devo aggiungere altre $4$. In totale ho $6\cdot (4+8)=72$ funzioni.
Sommando tutto, $4+24+24+24+72=148$.
Grazie per la veloce e precisa risposta!
Nel conteggio mi mancavano le 12 funzioni per cui se l'immagine di A,B,C è D allora l'immagine di D deve stare in {A,B,C}.
Quindi:
{2,1,1,1} {3,1,1,1} {4,1,1,1}
{2,1,2,2} {2,3,2,2} {2,4,2,2}
{3,3,1,3} {3,3,2,3} {3,3,4,3}
{4,4,4,1}, {4,4,4,2}, {4,4,4,3}
Buona giornata.
Nel conteggio mi mancavano le 12 funzioni per cui se l'immagine di A,B,C è D allora l'immagine di D deve stare in {A,B,C}.
Quindi:
{2,1,1,1} {3,1,1,1} {4,1,1,1}
{2,1,2,2} {2,3,2,2} {2,4,2,2}
{3,3,1,3} {3,3,2,3} {3,3,4,3}
{4,4,4,1}, {4,4,4,2}, {4,4,4,3}
Buona giornata.
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