Problema scuola galileiana
Salve, avevo alcuni dubbi su un problema assegnato durante la seconda prova scritta di matematica per l'ammissione alla Scuola Galileiana di Padova per l'a.a. 2016/17. Vi prego di aiutarmi 
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"Sia n un intero positivo pari, e si consideri un poligono regolare Pn con n lati e con i vertici numerati in senso orario da 1 a n. Sia k un intero positivo minore o uguale a n. Dato un insieme di k vertici X chiamiamo Xopp l’insieme costituito dai vertici
che sono opposti ai vertici in X rispetto al centro di Pn (per esempio, se n = 6, k = 3, e X = {1, 2, 3}, allora Xopp = {4, 5, 6}, e se invece X = {1, 2, 4}, allora Xopp = {1, 5, 4}).
i) Calcolare, per ogni n e k come sopra, il numero a(k ad apice)(n a pedice) degli insiemi X costituiti da k vertici e tali che X = Xopp.
ii) Si consideri ora per ogni intero positivo m il polinomio gm(x) = x^(m−1) +· · ·+x+ 1 (per cui per esempio g1(x) = 1, g2(x) = x + 1 etc...). Dimostrare che per ogni n e k come sopra vale:
limx→−1 [gn(x) gn−1(x)· · · gn−k+1(x)] / [gk(x) gk−1(x)· · · g1(x)] = a(k ad apice)(n a pedice)"
Soluzione i):
Soluzione ii):
Nella soluzione non capisco cosa significhi "insieme lasciato fisso da F" e come si arrivi a quel coefficiente binomiale (ora credo di aver iniziato a capire che, per definizione, il coefficiente binomiale permette di calcolare il numero di sottoinsiemi). Grazie a chiunque mi aiuterà! P.S. lascio il link con testo originale con annessa soluzione, il problema è l'esercizio 5: http://unipd-scuolagalileiana.it/sites/ ... 202016.pdf
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"Sia n un intero positivo pari, e si consideri un poligono regolare Pn con n lati e con i vertici numerati in senso orario da 1 a n. Sia k un intero positivo minore o uguale a n. Dato un insieme di k vertici X chiamiamo Xopp l’insieme costituito dai vertici
che sono opposti ai vertici in X rispetto al centro di Pn (per esempio, se n = 6, k = 3, e X = {1, 2, 3}, allora Xopp = {4, 5, 6}, e se invece X = {1, 2, 4}, allora Xopp = {1, 5, 4}).
i) Calcolare, per ogni n e k come sopra, il numero a(k ad apice)(n a pedice) degli insiemi X costituiti da k vertici e tali che X = Xopp.
ii) Si consideri ora per ogni intero positivo m il polinomio gm(x) = x^(m−1) +· · ·+x+ 1 (per cui per esempio g1(x) = 1, g2(x) = x + 1 etc...). Dimostrare che per ogni n e k come sopra vale:
limx→−1 [gn(x) gn−1(x)· · · gn−k+1(x)] / [gk(x) gk−1(x)· · · g1(x)] = a(k ad apice)(n a pedice)"
Soluzione i):
Soluzione ii):
Nella soluzione non capisco cosa significhi "insieme lasciato fisso da F" e come si arrivi a quel coefficiente binomiale (ora credo di aver iniziato a capire che, per definizione, il coefficiente binomiale permette di calcolare il numero di sottoinsiemi). Grazie a chiunque mi aiuterà! P.S. lascio il link con testo originale con annessa soluzione, il problema è l'esercizio 5: http://unipd-scuolagalileiana.it/sites/ ... 202016.pdf
Risposte
\(F : 2^n \to 2^n\) manda un sottoinsieme $X \subseteq 2^n$ in \(X^\text{opp}\); ti stanno chiedendo di trovare la cardinalità dell'insieme di punti fissi di questa mappa. Il motivo per cui si considera il binomiale \(\binom{n/2}{k/2}\) poi ti è spiegato a parole: se $X$ è $F$-fisso, quando contiene certi elementi contiene anche i loro opposti.
Scusami, non sono solito lavorare con problemi di questa tipologia (non tocco la teoria degli insiemi da anni, alla faccia del liceo scientifico...), potresti quindi spiegarmi meglio? Non ho mai sentito parlare di "punti fissi di mappe", potresti dirmi per favore come poter approfondire l'argomento? Ti ringrazio in anticipo.
Nessuno saprebbe aiutarmi?
Un elemento a è F-fisso, se F è una funzione da un insieme A in sé stesso, se F(a) = a.
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