Problema olimpico

[fewdewfewfsefui]

Dimostra che ogni quadrato è scomponibile in k quadrati con k maggiore o uguale a 6.

Qualcuno mi può aiutare a risolvere questo esercizio?

[spugna2]

Fissa un $k_0>1$ che rende possibile la scomposizione. Cosa succede se scomponi il quadrato iniziale in $k$ quadrati e poi scomponi a sua volta uno di questi in $k_0$ quadrati?

[consec]

Partiamo notando che se abbiamo un quadrato, è sempre possibile dividerlo in quattro quadrati: basta infatti tracciare le perpendicolari ai lati passanti per i punti medi.
Proseguiamo notando che se ho scomposto il quadrato in $k$ quadrati, con $k$ pari, possiamo sempre scomporre uno di quei quadrati in quattro quadrati, ottenendo $k-1+4=k+3$ quadrati. Dunque, da qualsiasi $k$ pari, è sempre possibile arrivare al dispari $k+3$; poiché il dispari minore richiesto dal quesito è $7$, se dimostriamo che un quadrato è sempre scomponibile in un numero $k$ di quadrati, con $k=2n>=4$, abbiamo la tesi.
Nel seguito considero un quadrato di lato unitario.
Sia $k$ un qualsiasi numero pari $>=4$. Costruiamo un quadrato di lato $x$, con $x<1$, con un vertice in comune al quadrato di partenza, che chiamiamo $A$. Ci proponiamo di determinare una $x$ tale da poter costruire sui due lati non giacenti su quelli del quadrato di partenza due serie ciascuna di $(k-2)/2$ quadratini (che sono in numero intero non nullo perché $k$ è pari e $>=4$) di lato $1-x$. Avremo così in questo modo costruito $1$ quadrato di lato $x$, $k-2$ quadrati di lato $1-x$ con un lato adiacente al lato del quadrato di lato $x$ e infine rimarrà $1$ quadrato sempre di lato $1-x$ con un vertice in comune al quadrato di partenza, diciamo $C$, e il vertice opposto giacente sulla diagonale $AC$ in comune al quadrato di lato $x$. In tutto $k$ quadratini.
Se sul lato $x$ poggiano $(k-2)/2$ quadratini di lato $1-x$, allora $(1-x)((k-2)/2)=x$, dunque $x=(k-2)/k$.
A riprova della dimostrazione, notiamo che, prendendo $x=(k-2)/k$, allora
$x^2+(k-1)(1-x)^2=1$
Quindi abbiamo dimostrato che si può sempre scomporre un quadrato in $k$ quadratini, con $k$ pari $>=4$, prendendo una $x$ opportuna, e dalle considerazioni iniziali segue la tesi.

[Vincent46]

Se ottengo che $k=6,7,8$ sono scomposizioni accettabili ho concluso, in quanto posso incrementare $k$ di tre suddividendo un quadratino in altri quattro sottoquadratini. Del resto si ha che:

$k=9$ è una scomposizione accettabile e, unendo quattro quadratini adiacenti, si ottiene che anche $k=6$ lo è.
$k=4$ è una scomposizione accettabile e, dividendo un quadratino in altri quattro, si ottiene che anche $k=7$ lo è.
$k=8$ è una composizione accettabile; considerando un quadrato di lato $l$, si incastra nel vertice un quadratino di lato $\frac{3}{4}l$ e si riempie il resto del quadratone con quadratini di lato $\frac{l}{4}$.