Problema Olimpiadi della Matematica

[Pachisi]

Propongo un problema delle olimpiadi della matematica Britanniche.

Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione

\(\displaystyle x+\left \lfloor x/6 \right \rfloor=\left \lfloor x/2 \right \rfloor +\left \lfloor 2x/3 \right \rfloor\)

dove \(\displaystyle \left \lfloor t \right \rfloor\) e` il piu` grande intero minore o uguale a \(\displaystyle t\).



Sono nuovo quindi scusatemi se lo avevate gia` postato.

[axpgn]

A me viene così ...

Premesso che la soluzione deve essere intera (perché è pari ad una somma algebrica di interi), l'insieme soluzione è composto dallo zero, dagli interi positivi $n-=1\ (mod\ 6)$ e dagli interi negativi $n-=5\ (mod\ 6)$

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

A me viene diversamente...

Si vede facilmente che \(\displaystyle x=0\) e` una soluzione.
Ora, si consideri \(\displaystyle x=6k\) con \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\); sostituendo tali numeri nell'equazione abbiamo

\( \displaystyle 6k+\left \lfloor 6k/6 \right \rfloor=\left \lfloor 6k/2 \right \rfloor +\left \lfloor 2(6k)/3 \right \rfloor \)
E` facile vedere che si riduce a \(\displaystyle 7k=7k\), dunque per ogni \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle x=6k\) e` una soluzione.

Ora consideriamo i numeri \(\displaystyle x=6k+1\), \(\displaystyle x=6k+2\),...,\(\displaystyle x=6k+5\) sempre con \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\); procedendo come prima, ossia sostituendo i numeri nell'equazione troviamo che le uniche soluzioni sono date da
\(\displaystyle x=6k+2\), \(\displaystyle x=6k+3\), \(\displaystyle x=6k+4\) e \(\displaystyle x=6k+5\).

Dunque, concludiamo che l'insieme delle soluzioni e` dato da

\(\displaystyle x=6k\), \(\displaystyle x=6k+2\), \(\displaystyle x=6k+3\), \(\displaystyle x=6k+4\) e \(\displaystyle x=6k+5\) con \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\)

[axpgn]

Ho scritto esattamente il contrario di quello che avevo in mente

Volevo dire che quelli erano gli interi da escludere (tranne lo zero, ovviamente) ...
Come puoi vedere è il complemento del tuo ...

Cordialmente, Alex