Problema Normale AA 2015/2016

[dr00ster]

Non so se è già stato postato altrove, ma non riesco a capire il seguente quesito (tratto dall'ammissione alla Normale di Pisa AA 2015/16)

Siano $I$, $J$ insiemi non vuoti con un numero finito di elementi e sia $P : I × J → [0, 1]$ una funzione. Si considerino le due quantità

$L = maxminP(i,j)$ $iinI$ $jinJ$
$L' = minmaxP(i,j)$ $iinI$ $jinJ$

(i.e. $L = maxm_i$, con $m_i = minP(i,j)$),
(i.e. $L′ = minM_j$, con $Mj = maxP(i,j)$).

Una di queste quantità è sempre maggiore o uguale dell’altra. Quale? Si giustifichi con una dimostrazione la risposta, dando inoltre un esempio che mostra come la disuguaglianza possa essere stretta.

[Leonardo9P]

Non so proprio metterci mano. Provo a dirti cosa ne penso per quel poco che mi sembra di capire.

ps. mi scuso anticipatamente ma non ho ancora capito come si usano i simboli con l'editor.

Se un certo j di Mj corrisponde, come scritto sopra nel testo, al min = max P(i,j) allora mj sarà maggiore o uguale di P(i,j) e quindi L' sarà sicuramente maggiore o uguale a L. Però mi sembra un po' troppo stupido come ragionamento, chiedo aiuto da parte del pubblico

[Pachisi]

Senza essere troppo rigorosi:
Il problema chiede solo se il minimo dei massimi è maggiore/minore del massimo dei minimi.
Sara` sempre maggiore.

[Leonardo9P]

"Pachisi":

Senza essere troppo rigorosi:
Il problema chiede solo se il minimo dei massimi è maggiore/minore del massimo dei minimi.
Sara` sempre maggiore.

Ah capito! Allora ho capito, grazie mille! Fortuna che l'hai reso semplice con due parole!

[Vincent46]

Beh, sbaglio o manca l'insieme di variazione degli indici? Cioé, così com'è scritto non è proprio chiarissimo il significato dei simboli, anche se poi si può intuire.

Se ho capito bene, come esempio di disuguaglianza stretta si può prendere la matrice identità due per due, con $P(i,j)$ funzione che restituisce il valore dell'elemento di posto $(i,j)$.

[Leonardo9P]

"Vincent46":Beh, sbaglio o manca l'insieme di variazione degli indici? Cioé, così com'è scritto non è proprio chiarissimo il significato dei simboli, anche se poi si può intuire.

Se ho capito bene, come esempio di disuguaglianza stretta si può prendere la matrice identità due per due, con $P(i,j)$ funzione che restituisce il valore dell'elemento di posto $(i,j)$.

Quella parte li della disuguaglianza non l'ho capita. Le matrici non le ho mai fatte, potresti spiegarmi come funziona ciò che dici?

[Vincent46]

"LeonardoP9":

Quella parte li della disuguaglianza non l'ho capita. Le matrici non le ho mai fatte, potresti spiegarmi come funziona ciò che dici?

Certo. Considera la seguente tabellina:
\[ \left( \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1 \end{array} \right)\]
Una tabella di numeri come questa si chiama matrice. Le righe di questa particolare matrice le chiamiamo "riga 1" e "riga 2", mentre le colonne le chiamiamo "colonna 1" e "colonna 2".
Come funzione $P$ definiamo quella che assegna a $(i,j)$ l'elemento che si trova nella riga $i$ e nella colonna $j$. Quindi $P(1,1) =1$, $P(1,2)=0$, $P(2,1)=0$, $P(2,2)=1$.
Allora (se ho capito bene il testo) $m_1$ è il minimo della prima riga di quella tabellina e quindi vale $0$, così come $m_2$. Allora $L$ vale $0$. Allo stesso modo, $M_1 = M_2 = 1$, quindi $L'=1$.

[dr00ster]

Chiedo scusa, correggo la seconda.
Non è $L' = maxminP(i,j)$ $iinI$ $jinJ$ ma $L' = minmaxP(i,j)$ $iinI$ $jinJ$.

Errore di battitura...

Però continua a non essermi chiaro che cosa significa una relazione del tipo $L'L$...

[orsoulx]

"dr00ster":Però continua a non essermi chiaro..

Non è facile capire quel che non ti quadra. Proviamo con un esempio pratico: hai il tabellone degli esiti finale di un anno scolastico; le colonne sono le diverse materie, le righe i poveri studenti valutati, in ogni casella compare il voto assegnato.
Puoi decidere di trovare il voto minimo per ciascun studente e poi di cercare il massimo fra questi risultati.
Oppure di cercare il voto massimo per ciascuna materia e poi il minimo fra questi.
Ma anche, al contrario, il voto massimo per ciascun studente e quindi il minimo di questi.
O, ancora, il massimo dei voti minimi per ciascuna materia.
Se consideri due di questi procedimenti, uno nel quale hai fatto prima il minimo e poi il massimo, l'altro al contrario, prima il massimo e poi il minimo; che relazione esiste fra i due risultati?
Ciao
B.

[dr00ster]

Ora è chiarissimo.

Anche questa volta grazie

[Leonardo9P]

Perfetto ora ho capito la parte sulle matrici. Grazie mille!