Problema n2 "Solving mathemathical problems"

[tommy1996q]

C'è un altro problema che mi lascia perplesso, scusate è già il secondo post dopo poco tempo, prometto di darmi una calmata dopo!
Comunque il testo è:

Sia f(x) un polinomio a coefficienti interi e siano a,b interi. Mostra che f(a)-f(b) può essere uguale a 1 solo quando a e b sono consecutivi.

Avevo pensato che visto che f(x) è a coefficienti interi, abbiamo che a-b sicuramente divide f(a)-f(b), perciò è ovvio che se vogliamo che f(a)-f(b)=1, allora a-b=1, cioè a=b+1 come volevasi dimostrare.

Se non ricordo male ciò deriva dal teorema del resto, per cui:

p(x)=(x-b)q(x)+p(b), da cui p(a)=(a-b)q(a)+p(b), da cui si vede facilmente che a-b divide p(a)-p(b)

Quello che mi lascia perplesso è che nel libro si suggerisce di fattorizzare f(a)-f(b), ma ponendo f(x)=a(n)*x^n +a(n-1)*x^n-1+ +.....+a(1)x+a(0), il risultato è f(a)-f(b)=a(n)*(a^n-b^N)+ a(n-1)*(a^(n-1)-b^(n-1))+.....
e dividendo per a-b mi vengono le classiche somme che si ottengono dal dividere a^n-b^n per a-b.

Mi chiedevo (visto che la scomposizione di polinomi non è proprio il mio punto forte) se il primo metodo fosse l'unico (di sicuro è il più semplice e veloce) o se vi sia anche una risoluzione da un punto dal secondo punto di vista, che magari sembra complicato, ma con qualche "magia" si riesce a semplificare

Mi scuso per come ho scritto le formule, devo guardare come scriverle appropriatamente ma ora non avevo tempo...

[donald_zeka]

Penso che il tuo ragionamento non sia altro che una conseguenza di quello proposto dal libro. Infatti $f(a)-f(b)$ sarà una somma di termini del tipo $a_k(a^k-b^k)$, che sappiamo essere divisibili per $a-b$, pertanto $(f(a)-f(b))/(a-b)=1/(a-b)$, da cui segue $a-b=+-1$

[dan952]

Puoi scrivere in latex semplicemente mettendo la formula tra due i due simboli del dollaro
Es.
$\ x^2 \$ [senza stanghette]