Problema impossibile?

[Bokonon]

Siete appena stati chiamati davanti alla commissione universitaria che valuterà se ammettervi alla facoltà o meno.
Dopo qualche chiacchera, vi passano un foglio di carta e una penna e vi chiedono:
"Confronti $ log_2(3) $ e $ log_3(5) $ e ci dimostri quale dei due valori è maggiore".

Il problema è reale ed ha una storia inquietante alle spalle...che vi racconterò in seguito

[otta96]

Dato che $25<27$ si ha $52sqrt2<3$ dunque $3/2

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[Bokonon]

"otta96":Dato che $25<27$ si ha $52sqrt2<3$ dunque $3/2
Bravissimo!
Questo è uno dei cosidetti "problema bara", ovvero problemi apparentemente semplici ma la cui soluzione in realtà è pressochè impossibile se non si imbocca la strada giusta come hai fatto tu.
Fino alla fine degli anni 80, venivano usati dalle commissioni d'esame russe per impedire, in modo apparentemente lecito, l'iscrizione degli ebrei alla facoltà .
Se vuoi saperne di più --> http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html

[otta96]

Interessante! E bellini anche gli altri problemi che si trovano nel link, ma mi sembrano molto più difficili di questo, forse sarà che per questo mi è venuta subito in mente l'idea giusta e per gli altri no.
Ne propongo uno io allora: è più grande $e^pi$ o $pi^e$?
Ammetto che non so come risolverlo ma sarei contento di vederne una soluzione (chiaramente va anche dimostrato, non basta la risposta).

[axpgn]

Forse ho trovato una risposta ...

La relazione d'ordine tra $e^pi$ e $pi^e$ è equivalente a quella tra $e^(1/e)$ e $pi^(1/pi)$
Studiando la funzione $f(x)=x^(1/x)$ si nota che la sua derivata è nulla in $x=e$, positiva prima e negativa poi, quindi $x=e$ è un punto di massimo.

Che ne dite?

Cordialmente, Alex

[dan952]

@alex
Studiare $frac{x}{\log x}$ risulta più facile...

Comunque una bella soluzione sarebbe quella che sfrutta approssimazioni razionali di $e$ e $\pi$...

[otta96]

"axpgn":Forse ho trovato una risposta ...

La relazione d'ordine tra $e^pi$ e $pi^e$ è equivalente a quella tra $e^(1/e)$ e $pi^(1/pi)$
Studiando la funzione $f(x)=x^(1/x)$ si nota che la sua derivata è nulla in $x=e$, positiva prima e negativa poi, quindi $x=e$ è un punto di massimo.

Che ne dite?

Cordialmente, Alex

Ora che me lo dici, lo sapevo di già che quella funzione aveva il massimo in quel punto, quindi forse lo sapevo e non me lo ricordavo o magari non mi ero accorto che questo fatto implicava quell'altro.

[Bokonon]

"otta96":Interessante! E bellini anche gli altri problemi che si trovano nel link, ma mi sembrano molto più difficili di questo, forse sarà che per questo mi è venuta subito in mente l'idea giusta e per gli altri no.
Ne propongo uno io allora: è più grande $e^pi$ o $pi^e$?
Ammetto che non so come risolverlo ma sarei contento di vederne una soluzione (chiaramente va anche dimostrato, non basta la risposta).

Mi era sfuggita la risposta
Si, in generale sono problemi apparentemente semplici ma che richiedono dimostrazioni difficili..ma possibili.
Il punto è che alcuni non sono nemmeno mai stati risolti e che si basano su risultati di matematici russi di cui prob. non hanno nemmeno pubblicato la dimostrazione.
Ok, mi hai stupito con la soluzione del problema ma francamente era possibile solo sapendo i valori dei due logaritmi.
Solo allora uno può pensare di prendere 3/2 come termine di comparazione. Quei poveri sfigati invece non se l'aspettavano e non potevano certo calcolare a mente i due logaritmi in 5 minuti con la dovuta precisione per decidere che 3/2 fosse etc etc.
Comunque quella è l'unica soluzione conosciuta finora...fai te!

[axpgn]

Non è poi così difficile ...

Appurato che i due valori sono compresi tra $1$ e $2$, basta tornare ai tempi in cui logaritmi (decimali) si calcolavano con le tavole e riportare alla luce il termine "mantissa" ovvero non c'era differenza tra le parti decimali dei logaritmi decimali di $5, 50, 500$; detto in altro modo tra la mantissa di $5$ e quella di $49$ la maggiore era la prima. Ok?
Perciò nel nostro caso dato che $3$ è a metà strada tra $2$ e $4$ mentre $5$ si trova ad un terzo tra $3$ e $9$ vince $log_2 3$ ☺

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

"otta96":
Ne propongo uno io allora: è più grande $e^pi$ o $pi^e$?

Sono bello cotto a quest'ora ma ci ho provato...non garantisco l'assenza di errori banali però!
Comparo i due numeri:
$pi^e=e^pi rArr (pi^e)^i=(e^pi)^i rArr pi^(ie)=-1 rArr pi^(2ie)=1 rArr 2eiln(pi)=0 rArr -2eln(pi)<0$
Quindi $pi^e

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[Bokonon]

"axpgn":basta tornare ai tempi in cui logaritmi (decimali) si calcolavano con le tavole e riportare alla luce il termine "mantissa"

Ti credo sulla fiducia, ma credi a me che non so cosa sia una mantissa LOL.
Mettiamola così, io che non ho mai usato in vita i logaritmi per semplificare i calcoli sarei stato segato di brutto mentre tentavo disperatamente di risolvere il problema cambiando le basi LOL

[otta96]

"Bokonon":Ok, mi hai stupito con la soluzione del problema ma francamente era possibile solo sapendo i valori dei due logaritmi.Solo allora uno può pensare di prendere 3/2 come termine di comparazione. Quei poveri sfigati invece non se l'aspettavano e non potevano certo calcolare a mente i due logaritmi in 5 minuti con la dovuta precisione per decidere che 3/2 fosse etc etc.

Giusto per dire, io in realtà non mi son calcolato con una calcolatrice (o computer, insomma con metodi elettronici) quei 2 logaritmi, mi sono immedesimato nella situazione che avevi descritto e ho riportato tutto il ragionamento che ho fatto nel mio post.
In questo tipo di problemi sono discretamente bravo perchè fin dalle superiori quando c'era da confrontare due quantità per esempio per metterle in un grafico (per esempio) mi rifiutavo di usare la calcolatrice e lo facevo a mano, anche se queste quantità sono espresse in modo complicato (per esempio ci sono radici), e tutt'ora ogni tanto mi diverto a confrontare le quantità senza usare la calcolatrice, tra l'altro degli altri problemi che c'erano nella pagina che avevi riportato pochi mi riuscivano (questo per confermare che sono un po' più allenato su questo tipo di problemi).

[Bokonon]

"otta96":
Giusto per dire, io in realtà non mi son calcolato con una calcolatrice (o computer, insomma con metodi elettronici) quei 2 logaritmi, mi sono immedesimato nella situazione che avevi descritto e ho riportato tutto il ragionamento che ho fatto nel mio post.

Chapeau!

[otta96]

Guardate che chicca ho trovato su arxiv, a proposito della problema che avevo proposto io: https://arxiv.org/abs/1806.03163, spettacolare.

[Bokonon]

Molto carina

[veciorik]

Su $ \ e^pi>pi^e \ $ ne ho trovate di tutti i colori:
[size=84]

[hl]https://www.quora.com/Which-is-bigger-e-pi-or-pi-e/answer/Neeraj-Kulkarni-10[/hl]

[bgcolor=lime]https://math.stackexchange.com/a/9459[/bgcolor]

[bgcolor=cyan]https://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/an-instant-proof-of-epi-pie[/bgcolor]

[bgcolor=white]http://quarksandcoffee.com/index.php/2015/11/13/epi-or-pie-how-to-tell-which-is-bigger-without-a-calculator[/bgcolor]

[/size]

[Erasmus_First]

"otta96":[...] è più grande $e^pi$ o $pi^e$?.

Siccome $π^e = e^(eln(π))$ e la derivata di $e^x$ è positiva ovunque, invece di confrontare $e^π$ con $π^e$ confronto tra loro i rispettivi logaritmi naturali.
Mi ricordo anche che ln(1+x) – definita reale per $x > –1$ – è nulla in x=0 e minore di x altrove.
[In particolare, per ogni $x> 0$ è $ln(1+x) = x – ∆$ con $∆$ positivo opportuno].
a) $ln(e^π) = π$.
b) $ln(π^e)=e·ln(π) = e·ln[e + (π-e)] = e·ln{e[1+(π-e)/e]} = e + e·ln[1+(π-e)/e] = $
[per opoortuno ∆ > 0] $= e + e[(π-e)/e – ∆] = π – e∆ < π$.
Morale: $e^π > π^e$ – ma di poco, circa $e^π·(π-e)^2/(2e)$ –.
Con la calcolatrice elettronica si trova infatti:
$e^π=23,14069263277925$;
$π^e = 22,45915771836103 ≈ e^π·(1- 2,95%$].

"dan95":[...] una bella soluzione sarebbe quella che sfrutta approssimazioni razionali di $e$ e $\pi$...

La consueta notazione decimale (i.e. : √(2) = 1,41421...; e = 2,71828...; π = 3,14159...) delle prime cifre significative dei numeri irrazionali (in particolare trascendenti) ne è appunto una "approsimazione razionale" .
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