Problema dimostrativo

[Ambro!]

Salve, ho risolto questo esercizio: dimostra che per $ n>= 0 $, $5^(n+1)$ $>$ $2^(n+2)$ $- 1$
in questa maniera, volevo sapere se vi sembra corretto:
divido ambo i membri per $2^(n+1)$ quindi
$ 5/2^(n+1) - 2 + 1/2^(n+1)> 0 $. $ 5/2^(n+1) - 2>0$ poichè il minimo valore ammesso per n è 0 e $5/2 >2$. $1/2^(n+1)>0, $ $AA n>=0 $ quindi $(5/2)^(n+1) - 2 + 1/2^(n+1) > 0 $ $ AA $ valore di n.
secondo voi è corretto?

[kobeilprofeta]

INDUZIONE

lemma

TH: $2^{n+3}-5>=2^{n+2}-1$
DIM:
n=0: $8-5>=4-1$ ok
n-1 => n
$2^{n-1+3}-5>=2^{n-1+2}-1$ cioè $2^{n+2}-5>=2^{n+1}-1$
moltiplico per 2
$2^{n+3}-10>=2^{n+2}-2$
sommo 5
$2^{n+3}-5>=2^{n+2}+3>2^{n+2}-1$

n=0: $5^1=5>3=2^{2n+2}-1$

Suppongo vera per n-1 e dimostro per n:
$5^{n-1+1}>2^{n-1+2}-1$ cioè $5^n>2^{n+1}-1$
moltiplico per 5
$5^{n+1}>5*2^{n+1}-5>4*2^{n+1}-5=2^{n+3}-5>=2^{n+2}-1$
nb: l'ultimo passaggio segue dal lemma

[consec]

Alternativamente
$5^(n+1)>4^(n+1)=2^(2n+2)>2^(n+2)>2^(n+2)-1$

[kobeilprofeta]

"consec":Alternativamente
$5^(n+1)>4^(n+1)=2^(2n+2)>2^(n+2)>2^(n+2)-1$

direi che è più veloce

[Ambro!]

ma come l'ho fatto io è giusto? Kobe non ho capito il tuo ultimo passaggio. anche se quello di consec è il migliore voglio cercare di capire anche come si fà per induzione

[consec]

"kobeilprofeta":[quote="consec"]Alternativamente
$5^(n+1)>4^(n+1)=2^(2n+2)>2^(n+2)>2^(n+2)-1$

direi che è più veloce [/quote]
Anche l'induzione veniva più velocemente dimostrando la tesi (più forte) che $5^(n+1)>2^(n+2)$
Passo base: $5^(0+1)>2^(0+2)$
Supponiamo sia valida per $n$ (ossia $5^(n+1)>2^(n+2)$)
Allora $5^(n+1+1)>2^(n+1+2) = 5*5^(n+1)>2*2^(n+2) = 5^(n+1)>(2/5)*2^(n+2)$ che è vera per ipotesi

Comunque il tuo metodo è corretto federicoambrosino

[Ambro!]

Grazie mille, sono i primi esercizi per induzione che provo a risolvere devo prenderci la mano. Alla fine come l'ho fatto io non mi sembra sbagliato o no? Anche se non ho fatto per induzione.

[kobeilprofeta]

intendi che non hai capito perchè $2^{n+3}-5>=2^{n+2}-1$ ?

[kobeilprofeta]

"federicoambrosino":ma come l'ho fatto io è giusto? Kobe non ho capito il tuo ultimo passaggio. anche se quello di consec è il migliore voglio cercare di capire anche come si fà per induzione

intendi che non hai capito perchè $2^{n+3}-5>=2^{n+2}-1$ ?

[Ambro!]

No, non ho capito com'è che la tesi risulti dimostrata dopo il tuo ultimo passaggio

[kobeilprofeta]

Leggi l'ultima riga della dimostrazione... solo l'inizio e la fine... cos aleggi?