Problema di secondo grado parametrico con moduli

[gogolart]

Buongiorno a tutti,
da qualche tempo sto aiutando un mio ex studente ad affrontare l'equivalente russo della nostra maturità.
L'esame è molto articolato e per quanto riguarda la parte di matematica è davvero impegnativo. Direi che raggiungere il punteggio massimo è una sfida davvero per pochissimi.
Propongo al forum questo esercizio che ancora non ho risolto. Voglio dare il mio contributo russo a questo nobile sito.

Determinare i valori del parametro a per cui il seguente problema ammette esattamente tre soluzioni
$ |x^2 - 2x - 3| + 1 = |x^2 -a| + 2a $

Esercizi analoghi li ho risolti utilizzando delle funzioni ausiliarie. In questo caso però non vedo come poter semplificare il problema. Osservo meglio il problema. Si tratta di due moduli di parabole, una fissa e l'altra parametrizzata.
Immagino di risolverla in modo ordinario sciogliendo i moduli. Sicuramente dovrò considerare i due intervalli di estremi -1 e +3 (interno e esterno) in cui viene spezzata la prima parabola. La seconda risulta invece definita a tratti sugli intervalli di estremi $ - sqrt a$ e $ + sqrt a $, i quali avranno posizionamento variabile rispetto ai precedenti.

P.S. La maturità in Russia si fa a 17 anni.

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]Anche se in Russia può essere considerato un quesito da secondaria, penso che in questo forum la sede più appropriata sia Scervelliamoci un po' e quindi lo sposto.[/xdom]

[gogolart]

Confermo che è da scervellamento. Come prevedevo mi vengono mille condizioni di delicata definizione. Qualcuno propone una soluzione più elegante e meno complicata?

[theras]

Beh,almeno per $a<=0$ non sembra impossibile quella classificazione:
in quel caso la riscriveremmo certamente $|x^2-2x-3|=x^2+a-1$,
e ad occhio vanno subito scartate,nell'ipotesi fatta su $a$,tutte le soluzioni corrsipondenti all'evenienza $x<=-1$..
A quel punto non è difficile notare,separando i casi $x in (-1,3)$ e $x in[3,+oo)$,
che se $a in [-8,0]$ le soluzioni sono al massimo due,
e dunque gli unici valori negativi di $a$ da attenzionare sono quelli di $(-oo,8)$:
fino a quì siamo d'accordo?
Saluti dal web.

[gogolart]

mmm...ad occhio non mi torna l'8, faccio una doccia poi ci riprovo.
Saluti da Mosca

[theras]

Ovviamente avevo dimenticato un segno,in quanto $|x^2-2x-3|=x^2+a-1"(con "x>3")"rArr..rArr$
$rArrx=-a/2-1"(sempre con "x>3")"rArr a<-8$:
saluti dal web
(e resta lì,che dalle Alpi a Portopalo di Capo Passero è un brutto mondo).

[gogolart]

Ci sono.
Ho fatto i conticini per $x in (-1, 3)$ e le due soluzioni che mancano per arrivare alle tre richieste non vengono.
$-1< x = -1+-sqrt{9-2a}/{2} < 3$
Per il discriminante non ci sono problemi con le condizioni ($a<9/2$)
mentre i guai vengono da $x = -1+-sqrt{9-2a}/{2}> -1$ dalla quale segue $a>8$.
Se non ho sbagliato qualcosa devo dedurre che le 3 soluzioni vadano cercate per $a>0$.
Corretto?

[giammaria2]

Nel caso $a<=0$ io ottengo risultati un po' diversi da theras; da prendere con le molle perché ho dovuto fare molte correzioni, a dimostrazione di non perfetta lucidità. Si ha
${(x< -1vvx>3),(x^2-2x-3+1=x^2+a):}vv{(-1<=x<=3),(-x^2+2x+3+1=x^2+a):}$
Nel primo caso l'equazione è di primo grado e l'unica soluzione è accettabile se $a< -8$; nel secondo caso (che ho studiato graficamente intersecando la parabola $y=-2x^2+2x+4$ con $y=a$) si ha una soluzione accettabile se $-8<=a<=0$.
Unendo i due casi, con $a$ negativo o nullo c'è sempre una sola soluzione accettabile.

Trovo però tremendo il caso di $a$ positivo; scommetterei che sia opportuno un approccio totalmente diverso.

[gogolart]

Confermo quanto detto da giammaria, graficando $ |x^2-2x-3|+1$ e $ |x^2-a|+2a$ si vede che per $a<0$ c'è una sola intersezione.

[giammaria2]

Salvo errori, ho trovato una soluzione anche per $a$ positivo, ma è brutta e continuo a sperare che qualcuno ne posti una più elegante; non scrivo tutti i miei calcoli, ma solo il metodo ed il risultato. Posto $p=x^2-2x-3$ e $q=x^2-a$ ho distinto 4 casi a seconda del segno di $p,q$; ho lavorato usando $b=sqrt(a)$. In due casi l'equazione era di primo grado ed ho imposto che la soluzione soddisfacesse ai vincoli; negli altri due era di secondo grado e l'ho discussa col metodo di Tartinville (orribile, ma gli altri mi sembravano anche peggio). In un diagramma finale ho poi scritto, in ogni intervallo, quante soluzioni derivavano dai singoli casi e le ho sommate; ho vigliaccamente trascurato gli uguali. Il totale è di 3 soluzioni
- per $00^^q>0$ e due da $p<0^^q>0$
- per $a>10/3$: una deriva da $p>0^^q>0$ e due da $p>0^^q<0$
Negli altri intervalli le soluzioni sono 4 (per $2/3

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[giammaria2]

Ho trovato un altro metodo di soluzione che mi sembra migliore, in quanto non usa Tartinville e non obbliga a distinguere per il segno di $a$. Purtroppo dà un risultato finale diverso; vi spiace controllare se almeno questo metodo è giusto?
La soluzione è data dall'unione dei seguenti due casi.

Primo caso
${(|x^2-2x-3|+1=x^2+a),(x^2>=a):}<=>{(y=a),(y=|x^2-2x-3|+1-x^2),(y<=x^2):}$
Disegniamo la curva di cui alla seconda equazione: esternamente all'intervallo delimitato dai punti $A(-1,0)$ e $B(3,-8)$ è data da due tratti della retta $y=-2x-2$ mentre internamente è un arco della parabola $y=-2x^2+2x+4$.
Dobbiamo però stare sotto (o in coincidenza) alla parabola di cui alla limitazione ed essa interseca il nostro grafico nell'arco di parabola, nei due punti $C_(1,2)((1+-sqrt13)/3, (14+-2sqrt13)/9)$; è accettabile la parte di grafico esterna all'intervallo $C_1C_2$, estremi compresi. Intersecando con $y=a$ abbiamo
${("1 soluzione" if a<0 vv a>(14+2sqrt13)/9),("2 soluzioni" if a=0 vv (14-2sqrt13)/9
Secondo caso
${(|x^2-2x-3|+1=-x^2+3a),(x^2{(y=a),(y=1/3(|x^2-2x-3|+1+x^2)),(y>x^2):}$
Fra i punti $A(-1, 2/3)$ e $B(3, 10/3)$ il disegno è dato da un tratto della retta $y=2/3x+4/3$ ed esternamente ad essi da archi della parabola $y=2/3x^2-2/3x-2/3$.
La parabola di cui alla limitazione incontra solo la retta, negli stessi punti $C_(1,2)$ di cui al primo caso ed è accettabile la parte di grafico interna; intersecandola con $y=a$ abbiamo
$"1 soluzione" if (14-2sqrt13)/9
Unendo i due casi si ottiene

${("1 soluzione" if a<0 vva>(14+2sqrt13)/9),("2 soluzioni" if a=0 vv a=(14+2sqrt13)/9),("3 soluzioni" if 0

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