Problema di probabilità nell'orario scolastico
salve a tutti,
Volevo proporvi un piccolo problema che mi era stato proposto oggi da un mio amico.
Mario e Luigi frequentano la stessa scuola e ogni giorno frequentano 5 ore scolastiche, eccetto due giorni a settimana che hanno la sesta ora. Sapendo che Mario e Luigi possono avere la sesta ora dal lunedí al venerdí (e quindi non di sabato), calcola le probabilitá che in due anni di seguito Mario e Luigi abbiano almeno una sesta lo stesso giorno? (Chiaramente i giorni con la sesta ora vengono decisi all'inizio di ogni anno e rimangono immutati fino alla fine dell'anno scolastico).
Cosa ne pensate? Come procedereste?
Grazie tante,
FD
Volevo proporvi un piccolo problema che mi era stato proposto oggi da un mio amico.
Mario e Luigi frequentano la stessa scuola e ogni giorno frequentano 5 ore scolastiche, eccetto due giorni a settimana che hanno la sesta ora. Sapendo che Mario e Luigi possono avere la sesta ora dal lunedí al venerdí (e quindi non di sabato), calcola le probabilitá che in due anni di seguito Mario e Luigi abbiano almeno una sesta lo stesso giorno? (Chiaramente i giorni con la sesta ora vengono decisi all'inizio di ogni anno e rimangono immutati fino alla fine dell'anno scolastico).
Cosa ne pensate? Come procedereste?
Grazie tante,
FD
Risposte
La butto lì ...
Sono $10$ le combinazioni di due giorni con sesta ora quindi saranno $100$ le combinazioni totali possibili; per ciascuna delle $10$ ce ne sono tre in cui non si sovrappongono perciò saranno $70$ quelle favorevoli quindi la probabilità sui due anni dovrebbe essere il $49%$.
Cordialmente, Alex
Sono $10$ le combinazioni di due giorni con sesta ora quindi saranno $100$ le combinazioni totali possibili; per ciascuna delle $10$ ce ne sono tre in cui non si sovrappongono perciò saranno $70$ quelle favorevoli quindi la probabilità sui due anni dovrebbe essere il $49%$.
Cordialmente, Alex
Trovo la domanda un po' ambigua.
Potrebbe voler dire la probabilità che Mario e Luigi abbiano nello stesso giorno entrambi la sesta ora(per due anni di seguito o nel giro di due anni), che sia Mario che Luigi abbiano la sesta ora per due anni di seguito lo stesso giorno dell'anno (sia entrambi lo stesso giorno che indipendentemente tra di loro). O anche altre varianti simili (per esempio si potrebbe supporre che lo stesso giorno venga inteso in termine di settimane dall'inizio dell'anno e non in giorno solare).
Potrebbe voler dire la probabilità che Mario e Luigi abbiano nello stesso giorno entrambi la sesta ora(per due anni di seguito o nel giro di due anni), che sia Mario che Luigi abbiano la sesta ora per due anni di seguito lo stesso giorno dell'anno (sia entrambi lo stesso giorno che indipendentemente tra di loro). O anche altre varianti simili (per esempio si potrebbe supporre che lo stesso giorno venga inteso in termine di settimane dall'inizio dell'anno e non in giorno solare).
Anche se il procedimento non è proprio ortodosso, concordo con il risultato ottenuto da Alex.
"Ortodossiamolo"!
Il numero dei modi in cui può presentarsi l'orario settimanale di ciascuno dei due ragazzi è dato dalle disposizioni dei $2$ giorni lunghi tra i $5$ giorni totali (il Sabato non può avere la sesta ora, quindi possiamo buttarlo fuori dal pentolone), cioè $D_{5,2} = \frac{5!}{3!2!} = 10$. I casi totali sono banalmente $(D_{5,2})^2 = 100$ (per ogni caso del primo ci sono 10 casi per il secondo).
Quale che sia il caso che si verifica per il primo ragazzo, il numero di casi per i quali il secondo NON ha alcun giorno lungo sovrapposto col compagno è che i suoi $2$ giorni lunghi si dispongano sui $3$ giorni corti del compagno, cioè $D_{3,2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$, e dunque il numero di casi in cui c'è almeno una sovrapposizione è il complemento a $10$, cioè $7$. I casi favorevoli sono allora $D_{5,2} \cdot (D_{5,2} - D_{3,2}) = 70$.
La probabilità che ci sia almeno una sovrapposizione (per un anno) è dunque $70/100 = 70%$. Gli orari da un anno all'altro sono scelti in maniera s-indipendente, perciò la probabilità che l'evento avvenga per 2 anni consecutivi è il quadrato di quella che avvenga per un anno, cioè $49%$.
Enrico Maria
Il numero dei modi in cui può presentarsi l'orario settimanale di ciascuno dei due ragazzi è dato dalle disposizioni dei $2$ giorni lunghi tra i $5$ giorni totali (il Sabato non può avere la sesta ora, quindi possiamo buttarlo fuori dal pentolone), cioè $D_{5,2} = \frac{5!}{3!2!} = 10$. I casi totali sono banalmente $(D_{5,2})^2 = 100$ (per ogni caso del primo ci sono 10 casi per il secondo).
Quale che sia il caso che si verifica per il primo ragazzo, il numero di casi per i quali il secondo NON ha alcun giorno lungo sovrapposto col compagno è che i suoi $2$ giorni lunghi si dispongano sui $3$ giorni corti del compagno, cioè $D_{3,2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$, e dunque il numero di casi in cui c'è almeno una sovrapposizione è il complemento a $10$, cioè $7$. I casi favorevoli sono allora $D_{5,2} \cdot (D_{5,2} - D_{3,2}) = 70$.
La probabilità che ci sia almeno una sovrapposizione (per un anno) è dunque $70/100 = 70%$. Gli orari da un anno all'altro sono scelti in maniera s-indipendente, perciò la probabilità che l'evento avvenga per 2 anni consecutivi è il quadrato di quella che avvenga per un anno, cioè $49%$.
Enrico Maria
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