Problema da SNS 2017/18

[Rider1]

SNS 2017/18

https://www.sns.it/sites/default/files/ ... 201718.pdf

Pagina 1, esercizio1, punto 3.
Gli altri punti li ho risolti senza problemi ma sul 3 mi sono bloccato.
Supponiamo che esistano 3 termini della successione $a_n$ uguali.
Siano essi $m, n$ e $l$ gli indici di tali termini con $m Se sono uguali deve risultare $rcos(\alpha +m\theta)=rcos(\alpha +n\theta) =rcos(\alpha +l\theta)=q$.
Ora nell'intervallo $[0, 2\pi]$ l'equazione $cos(x)=q/r$ ha al massimo 2 soluzioni distinte per cui riconducendomi all'intervallo $[0, 2\pi]$ sottraendo opportuni multipli di $2\pi$ si ha che almeno due tra $\alpha +m\theta +2k\pi, \alpha +n\theta +2h\pi$ e $\alpha +l\theta +2i\pi$ sono angoli congruenti.
Supponendo $\alpha +m\theta +2k\pi = \alpha +n\theta +2h\pi$ si ha $\theta(n-m) = 2\pi(k-h)$ cioè $\theta$ e $2\pi$ sono commensurabili. Sapendo che $\theta = arccos(3/5)$ dovrei riuscire a provare che $\theta$ e $2\pi$ non sono commensurabili da cui la successione non è periodica. Il problema è che non riesco a trovare un modo.
Idee?
Grazie.

[.Ruben.17]

C'è il cosiddetto teorema di niven, che io ho dimostrato cosí(allegato).
Ma basterebbe anche una versione piú debole del teorema dal momento che sia seno che coseno sono razionali.