Problema da risolvere
Salve,
ho notato che effettuando due operazioni sui numeri da 19 a 99, il risultato corrisponde allo stesso numero sul quale vengono effettuate le due operazioni.
Esempio:
39
3x9=27
3+9=12
27+12=39
Altro esempio:
79
7x9=63
7+9=16
63+16=79
MChiedo: perché ciò avviene solo dai numeri che vanno da 19 a 99?
Carlo
ho notato che effettuando due operazioni sui numeri da 19 a 99, il risultato corrisponde allo stesso numero sul quale vengono effettuate le due operazioni.
Esempio:
39
3x9=27
3+9=12
27+12=39
Altro esempio:
79
7x9=63
7+9=16
63+16=79
MChiedo: perché ciò avviene solo dai numeri che vanno da 19 a 99?
Carlo
Risposte
$n=10a+b$
$a xx b = x$
$a + b = y$
$x+y=n --> ab+a+b=n --> a(b+1)+b=n$
Se $b=9$ allora l'ultima uguaglianza è vera
$a xx b = x$
$a + b = y$
$x+y=n --> ab+a+b=n --> a(b+1)+b=n$
Se $b=9$ allora l'ultima uguaglianza è vera
Sono sicuro che il procedimento sia matematicamente esatto.
Però io non sono un matematico e stento a capirci il nesso.
E' possibile avere una spiegazione in forma letterale?
Gentile.
Carlo
Però io non sono un matematico e stento a capirci il nesso.
E' possibile avere una spiegazione in forma letterale?
Gentile.
Carlo
Dimmi cosa ti confonde ... per esempio la prima uguaglianza ti è chiara?
Scusami, sono più chiaro.
Io non sono uno studente ma un 79enne amante della ricerca e dello studio.
Per caso mi sono imbattuto in queste operazioni scrivendo un augurio ad un mio nipote che compiva 39 anni e facendo le due operazioni (fatte a caso) mi sono accorto che il risultato corrispondeva sempre al numero (39). Ho cercato di capire il perché facendo esempi su numeri che terminavano sempre con 9 e mi sono accorto che era la stessa cosa. Al che ho cercato in internet un forum di Matematica e mi é comparso Matematicamente.it al quale mi sono iscritto chiedendo spiegazioni in merito.
Ora, tu sei stato molto gentile nel farmi vedere la prassi matematica, ma purtroppo non sono addentrato in materia, per cui ho pensato di chiedere una spiegazione in forma letterale (un po' come il Teorema di Pitagora "la somma dei cateti...ecc.).
In questo modo riuscirei a capire meglio.
Ho cercato anche di sostituire i numeri alle lettere della tua prassi e il senso si trova.
Però vorrei sapere il perché l'uguaglianza corrisponde sempre al numero che termina con 9.
Ti ringrazio e scusami del prolungato scritto.
Carlo
Io non sono uno studente ma un 79enne amante della ricerca e dello studio.
Per caso mi sono imbattuto in queste operazioni scrivendo un augurio ad un mio nipote che compiva 39 anni e facendo le due operazioni (fatte a caso) mi sono accorto che il risultato corrispondeva sempre al numero (39). Ho cercato di capire il perché facendo esempi su numeri che terminavano sempre con 9 e mi sono accorto che era la stessa cosa. Al che ho cercato in internet un forum di Matematica e mi é comparso Matematicamente.it al quale mi sono iscritto chiedendo spiegazioni in merito.
Ora, tu sei stato molto gentile nel farmi vedere la prassi matematica, ma purtroppo non sono addentrato in materia, per cui ho pensato di chiedere una spiegazione in forma letterale (un po' come il Teorema di Pitagora "la somma dei cateti...ecc.).
In questo modo riuscirei a capire meglio.
Ho cercato anche di sostituire i numeri alle lettere della tua prassi e il senso si trova.
Però vorrei sapere il perché l'uguaglianza corrisponde sempre al numero che termina con 9.
Ti ringrazio e scusami del prolungato scritto.
Carlo
No, è che semplicemente volevo andare per passi perché altrimenti corro il rischio di andare troppo lungo e incasinarti di più 
Comunque, di solito (e sicuramente in questo caso perché l'ho deciso io
) la lettera $n$ rappresenta un numero naturale cioè un numero intero positivo ($1, 2, 3, ...$).
Nella usuale notazione decimale (quella che usiamo normalmente tutti i giorni), i numeri naturali si possono rappresentare come una somma di potenze del $10$ moltiplicate per un opportuno coefficiente; quindi la scritta $n=10a+b$ sta a significare che il numero naturale $n$ (nel nostro caso composto da DUE sole cifre) si può scrivere equivalentemente come la somma $10a+b$ dove $a$ è la cifra delle decine e $b$ la cifra delle unità.
Nei due passaggi successivi non faccio altro che dare un nome al prodotto e alla somma di queste due cifre $a$ e $b$ e più precisamente chiamo $x$ il prodotto $a xx b$ e chiamo $y$ la somma $a+b$.
Tu sostieni (ovvero "congetturi") che sommando questo prodotto con questa somma ottieni il numero di partenza se $b$ è uguale a $9$.
Proviamo se è vero.
Data la somma $x+y$ sostituisco a $x$ e a $y$ i loro equivalenti ovvero $x=a xx b$ e $y=a+b$ quindi la mia somma diventa $x+y= a xx b + a +b$; in questa seconda espressione raccolgo $a$ e quindi l'espressione diventa $a(b+1)+b$.
Ora nel caso in cui $b$ è pari a $9$, allora $b+1$ è pari a $10$ e quindi la nostra espressione diventa $10a+b$ che è esattamente il nostro numero di partenza.
Comunque, di solito (e sicuramente in questo caso perché l'ho deciso io
) la lettera $n$ rappresenta un numero naturale cioè un numero intero positivo ($1, 2, 3, ...$).Nella usuale notazione decimale (quella che usiamo normalmente tutti i giorni), i numeri naturali si possono rappresentare come una somma di potenze del $10$ moltiplicate per un opportuno coefficiente; quindi la scritta $n=10a+b$ sta a significare che il numero naturale $n$ (nel nostro caso composto da DUE sole cifre) si può scrivere equivalentemente come la somma $10a+b$ dove $a$ è la cifra delle decine e $b$ la cifra delle unità.
Nei due passaggi successivi non faccio altro che dare un nome al prodotto e alla somma di queste due cifre $a$ e $b$ e più precisamente chiamo $x$ il prodotto $a xx b$ e chiamo $y$ la somma $a+b$.
Tu sostieni (ovvero "congetturi") che sommando questo prodotto con questa somma ottieni il numero di partenza se $b$ è uguale a $9$.
Proviamo se è vero.
Data la somma $x+y$ sostituisco a $x$ e a $y$ i loro equivalenti ovvero $x=a xx b$ e $y=a+b$ quindi la mia somma diventa $x+y= a xx b + a +b$; in questa seconda espressione raccolgo $a$ e quindi l'espressione diventa $a(b+1)+b$.
Ora nel caso in cui $b$ è pari a $9$, allora $b+1$ è pari a $10$ e quindi la nostra espressione diventa $10a+b$ che è esattamente il nostro numero di partenza.
Perbacco! Sei stato bravissimo.
Ora ho capito perfettamente.
Approfondirò la tua spiegazione.
Un'ultima domanda (sempre da neofita): perché ciò succede solo con i numeri che finiscono con 9 indipendentemente dal numero delle cifre, esempio 2839?).
Ti ringrazio per la pazienza.
Carlo
Ora ho capito perfettamente.
Approfondirò la tua spiegazione.
Un'ultima domanda (sempre da neofita): perché ciò succede solo con i numeri che finiscono con 9 indipendentemente dal numero delle cifre, esempio 2839?).
Ti ringrazio per la pazienza.
Carlo
Perché succede quello che scrivo nell'ultima riga ovvero $9+1=10$ (non so però se è vero anche per numeri con più di due cifre, non ho verificato, anche perché prodotto e somma sarebbero calcolati in modo diverso)
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