Problema con frazione?
Non sapevo in che sezione postare, perdonatemi se ho sbagliato 
Ho la seguente frazione "infinita": $x=2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/...))))))))))))))))$
Quindi posso scriverla come $x=2/x$, da cui risulta $x=sqrt(2)$, tuttavia andando a provare con sempre più $2$, il risultato che mi dà la calcolatrice è sempre $1$, quindi volevo sapere: è possibile che, quando non tronco la frazione, il suo risultato diventi $sqrt(2)$? Oppure, se sto sbagliando qualcosa, dove?
Ho la seguente frazione "infinita": $x=2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/...))))))))))))))))$
Quindi posso scriverla come $x=2/x$, da cui risulta $x=sqrt(2)$, tuttavia andando a provare con sempre più $2$, il risultato che mi dà la calcolatrice è sempre $1$, quindi volevo sapere: è possibile che, quando non tronco la frazione, il suo risultato diventi $sqrt(2)$? Oppure, se sto sbagliando qualcosa, dove?
Risposte
non so se il tuo ragionamento sia esatto però ho notato che se ci fermiamo al primo due del denominatore il risultato è $1$ , se ci fermiamo al secondo viene $2$ ed in generale se ci fermiamo ad uno in posizione pari viene $2$ mentre se ci fermiamo ad una posizione dispari viene $1$
"matteo111":
non so se il tuo ragionamento sia esatto però ho notato che se ci fermiamo al primo due del denominatore il risultato è $1$ , se ci fermiamo al secondo viene $2$ ed in generale se ci fermiamo ad uno in posizione pari viene $2$ mentre se ci fermiamo ad una posizione dispari viene $1$
Ti ringrazio, vediamo se qualcuno può illuminarci
Uhm... da quello che vedo, la tua sembra essere una successione definita per ricorsione. Nello specifico, si ha che la tua successione è definita così:
$\{(x_0=2),(x_{n+1}=2/x_n):}$
Infatti, i primi termini sono $2$, $1$, $2$, $1$, e così via: e sono proprio i termini che tu trovi con il tuo metodo, tant'è che matteo111 giustamente nota che alternativamente si ripetono $1$ e $2$. Normalmente, il limite di una successione definita per ricorrenza si trova individuando la funzione che definisce la ricorrenza (nel nostro caso $2/x$) e trovandone i punti fissi, ovvero le soluzioni del'l'equazione $x = f(x)$, che qui equivalgono a risolvere $x = 2/x$, che come giustamente dici ha tra le soluzioni $x = sqrt(2)$.
Però... questo NON è il limite (ovvero il "risultato" della frazione infinita, per come lo chiami, cioè ciò che ti aspetteresti di trovare dopo aver effettuato infinite volte tutte le divisioni che trovi nel tuo metodo)! Infatti, per poter procedere così, bisogna prima assicurarsi che la successione abbia limite; ma la tua successione, evidentemente, non può avere alcun limite, in quanto oscilla definitivamente tra $1$ e $2$: se continua a fare su e giù tra questi due valori, ovviamente non c'è un limite a cui tende, continuerà a fare così infinitamente senza mai stabilizzarsi.
Dunque il tuo procedimento è scorretto solo perché è impossibile attuarlo: fare come dici tu serve per trovare il limite di una successione definita per ricorrenza... ma solo se esiste il limite!
$\{(x_0=2),(x_{n+1}=2/x_n):}$
Infatti, i primi termini sono $2$, $1$, $2$, $1$, e così via: e sono proprio i termini che tu trovi con il tuo metodo, tant'è che matteo111 giustamente nota che alternativamente si ripetono $1$ e $2$. Normalmente, il limite di una successione definita per ricorrenza si trova individuando la funzione che definisce la ricorrenza (nel nostro caso $2/x$) e trovandone i punti fissi, ovvero le soluzioni del'l'equazione $x = f(x)$, che qui equivalgono a risolvere $x = 2/x$, che come giustamente dici ha tra le soluzioni $x = sqrt(2)$.
Però... questo NON è il limite (ovvero il "risultato" della frazione infinita, per come lo chiami, cioè ciò che ti aspetteresti di trovare dopo aver effettuato infinite volte tutte le divisioni che trovi nel tuo metodo)! Infatti, per poter procedere così, bisogna prima assicurarsi che la successione abbia limite; ma la tua successione, evidentemente, non può avere alcun limite, in quanto oscilla definitivamente tra $1$ e $2$: se continua a fare su e giù tra questi due valori, ovviamente non c'è un limite a cui tende, continuerà a fare così infinitamente senza mai stabilizzarsi.
Dunque il tuo procedimento è scorretto solo perché è impossibile attuarlo: fare come dici tu serve per trovare il limite di una successione definita per ricorrenza... ma solo se esiste il limite!
Sinceramente direi che non vi è alcuna ragione per supporre che il limite sia quello, o che abbia senso parlare di limite o che \(\displaystyle x_n \) in qualche modo abbia a che fare con \(\displaystyle \sqrt{2} \).
La condizione è \(\displaystyle x_{n}x_{n+1} = 2 \). Io non vedo nessun quadrato perché a priori \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle x_{n+1} \) sono diversi. Quello che so invece è che \(\displaystyle x_{n}x_{n+1} = 2 = x_{n}x_{n-1} \) cioè \(\displaystyle x_{n+1} = x_{n-1} \) (\(\displaystyle x_n\neq 0 \) per ovvie ragioni). Da questo so che la successione è alternativamente \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 1 \) (per le condizioni iniziali).
Prima di usare il teorema del punto fisso bisogna controllare che le ipotesi siano soddisfatte.
La condizione è \(\displaystyle x_{n}x_{n+1} = 2 \). Io non vedo nessun quadrato perché a priori \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle x_{n+1} \) sono diversi. Quello che so invece è che \(\displaystyle x_{n}x_{n+1} = 2 = x_{n}x_{n-1} \) cioè \(\displaystyle x_{n+1} = x_{n-1} \) (\(\displaystyle x_n\neq 0 \) per ovvie ragioni). Da questo so che la successione è alternativamente \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 1 \) (per le condizioni iniziali).
Prima di usare il teorema del punto fisso bisogna controllare che le ipotesi siano soddisfatte.
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