Problema che rivela un problema, a scatole cinesi
Tutto ha inizio qualche tempo fa, in una fredda serata invernale.
Me ne stavo lì al calduccio a leggere un buon libro, quando mia sorella (11 anni ancora da compiere) mi scuote con un quesito matematico.
Il problema in sè non è affatto complicato, si tratta di trovare il valore delle incognite A e B tra cui intercorre la seguente relazione:
AB+
AB+
AB=
1AA
Bisogna però tener presente che A e B rappresentano ognuna una cifra.
E qui casca l'asino: un cifra, solo una cifra, non possono assumere valori frazionari!
Io, dandomi arie da fratello maggiore iscritto al liceo scientifico, tento di risolvere il problemino impostando un "semplice" sistema di tre equazioni in tre incognite (la terza incognita rappresenta il riporto). Tutti quei passaggi fanno molta scena, ma purtroppo in risultato è sbagliato: mi viene $A=5/3$ e B=5.
Di per sè non sarebbe sbagliato, infatti sostituendo i conti tornano.
Nell'impostare il sistema non sono stato in grado di esprimere in "linguaggio matematico" che quelle maledette variabili potevano assumere solo valori interi.
Qualcuno ha un'idea?
Grazie e saluti.
PS: Il problema di mia sorella si risolve benissimo per tentativi: le cifre sono solo dieci!
Me ne stavo lì al calduccio a leggere un buon libro, quando mia sorella (11 anni ancora da compiere) mi scuote con un quesito matematico.
Il problema in sè non è affatto complicato, si tratta di trovare il valore delle incognite A e B tra cui intercorre la seguente relazione:
AB+
AB+
AB=
1AA
Bisogna però tener presente che A e B rappresentano ognuna una cifra.
E qui casca l'asino: un cifra, solo una cifra, non possono assumere valori frazionari!
Io, dandomi arie da fratello maggiore iscritto al liceo scientifico, tento di risolvere il problemino impostando un "semplice" sistema di tre equazioni in tre incognite (la terza incognita rappresenta il riporto). Tutti quei passaggi fanno molta scena, ma purtroppo in risultato è sbagliato: mi viene $A=5/3$ e B=5.
Di per sè non sarebbe sbagliato, infatti sostituendo i conti tornano.
Nell'impostare il sistema non sono stato in grado di esprimere in "linguaggio matematico" che quelle maledette variabili potevano assumere solo valori interi.
Qualcuno ha un'idea?
Grazie e saluti.
PS: Il problema di mia sorella si risolve benissimo per tentativi: le cifre sono solo dieci!
Risposte
48+48+48=144
?
?
l'unica cosa che mi viene in mente è fare così:
$10A+B+10A+B+10A+B=100+10A+A$ che diventa $19A=100-3B$ ora, poiché A deve essere intero, $100-3B$ deve essere multiplo di $19$ quindi deve essere uguale a$0, 19,38,57,76,95$ e gli unici valori accettabili è solo $76$ poiché per avere gli altri avremmo valori di $B$ non interi o di due cifre avremo quindi che $100-3B=76$
$b=8$
$A=4$ non è molto matematico come procedimento ma almeno ha senso
$10A+B+10A+B+10A+B=100+10A+A$ che diventa $19A=100-3B$ ora, poiché A deve essere intero, $100-3B$ deve essere multiplo di $19$ quindi deve essere uguale a$0, 19,38,57,76,95$ e gli unici valori accettabili è solo $76$ poiché per avere gli altri avremmo valori di $B$ non interi o di due cifre avremo quindi che $100-3B=76$
$b=8$
$A=4$ non è molto matematico come procedimento ma almeno ha senso
matteo111, perché dici che il procedimento non è molto matematico? Ragionamenti simili sono richiesti in molte gare di matematica.
Anche l'idea di matt15 non è male, ma deve aver sbagliato qualcosa nell'applicarla. Detto $X$ il riporto, si traduce nel sistema
${(3B=A+10X),(3A+X=A+10):}" "=>{(3B=A+10X),(2A+X=10):}$
Poiché la somma delle ultime tre cifre vale al massimo $27$, i valori possibili di $X$ sono solo $0;1;2$ ed escludiamo subito $X=1$ perché l'ultima equazione ci dice che $X$ deve essere pari. Sostituendo nel sistema gli altri due valori, vediamo che per $X=0$ non ci sono soluzioni accettabili, mentre per $X=2$ abbiamo la soluzione indicata da adaBTTLS.
Anche l'idea di matt15 non è male, ma deve aver sbagliato qualcosa nell'applicarla. Detto $X$ il riporto, si traduce nel sistema
${(3B=A+10X),(3A+X=A+10):}" "=>{(3B=A+10X),(2A+X=10):}$
Poiché la somma delle ultime tre cifre vale al massimo $27$, i valori possibili di $X$ sono solo $0;1;2$ ed escludiamo subito $X=1$ perché l'ultima equazione ci dice che $X$ deve essere pari. Sostituendo nel sistema gli altri due valori, vediamo che per $X=0$ non ci sono soluzioni accettabili, mentre per $X=2$ abbiamo la soluzione indicata da adaBTTLS.
"giammaria":
matteo111, perché dici che il procedimento non è molto matematico? Ragionamenti simili sono richiesti in molte gare di matematica.
intendevo che non sono riuscito a trasformare in linguaggio matematico che le variabili possono essere intere
Campo di esistenza:
$A>=3$; $A<=6$
$AB+AB+AB$=1AA
$3AB$=1AA
1AA è multiplo di $3$, dunque $1+2A$ è un multiplo di $3$:
Abbiamo i seguenti casi:
$2A=2$
$2A=5$
$2A=8$
$2A=11$
Il primo non è accettabile per il campo di esistenza, il secondo e quarto non sono numeri interi, il terzo è accettabile, dunque $A=4$ e dunque $B=8$
$A>=3$; $A<=6$
$AB+AB+AB$=1AA
$3AB$=1AA
1AA è multiplo di $3$, dunque $1+2A$ è un multiplo di $3$:
Abbiamo i seguenti casi:
$2A=2$
$2A=5$
$2A=8$
$2A=11$
Il primo non è accettabile per il campo di esistenza, il secondo e quarto non sono numeri interi, il terzo è accettabile, dunque $A=4$ e dunque $B=8$
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