Problema (Analisi)

[dan952]

Sia $f: [0,1] \mapsto [0,1]$ una funzione crescente, derivabile e invertibile, e $g:[0,1] \mapsto [0,1]$ l'inversa. Supponiamo che
$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}g(x)dx$$
Dimostrare che esistono $a,b \in [0,1]$ e $0

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Risposte

Rigel1

3 gen 2016, 18:23

Poiché
\[
\int_0^1 f + \int_0^1 g = 1
\]
(l'area del quadrato \([0,1]\times [0,1]\)), deduciamo che entrambi gli integrali valgono \(1/2\).
Consideriamo ora la funzione \(h(x) := f(x) - x\). Abbiamo che \(h(0) = h(1) = 0\) e \(\int_0^1 h = 0\).
Distinguiamo due casi:
1) \(h(x) = 0\) per ogni \(x\in [0,1]\): in tal caso \(f(x) = x\), dunque la tesi è immediata.
2) \(h \not\equiv 0\). Poiché il suo integrale è nullo, ci sono punti dove \(h\) è negativa e punti dove \(h\) è positiva.
Di conseguenza, i punti di massimo e minimo assoluto (dove \(h\) è rispettivamente positiva e negativa) sono punti di \((0,1)\); in tali punti la derivata di \(h\) è nulla, dunque quella di \(f\) vale \(1\).

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dan952

3 gen 2016, 18:31

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[Rigel1]

Poiché
\[
\int_0^1 f + \int_0^1 g = 1
\]
(l'area del quadrato \([0,1]\times [0,1]\)), deduciamo che entrambi gli integrali valgono \(1/2\).
Consideriamo ora la funzione \(h(x) := f(x) - x\). Abbiamo che \(h(0) = h(1) = 0\) e \(\int_0^1 h = 0\).
Distinguiamo due casi:
1) \(h(x) = 0\) per ogni \(x\in [0,1]\): in tal caso \(f(x) = x\), dunque la tesi è immediata.
2) \(h \not\equiv 0\). Poiché il suo integrale è nullo, ci sono punti dove \(h\) è negativa e punti dove \(h\) è positiva.
Di conseguenza, i punti di massimo e minimo assoluto (dove \(h\) è rispettivamente positiva e negativa) sono punti di \((0,1)\); in tali punti la derivata di \(h\) è nulla, dunque quella di \(f\) vale \(1\).

[dan952]

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