Problema ammissione Scuola Superiore Catania
Buongiorno a tutti. Dando qualche occhiata ai test di ammissione alla Scuola Superiore di Catania mi sono imbattutto in questo: dimostrare che per ogni triangolo vale $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)sen(\gamma/2)<1/4$ dove $\alpha,\beta,\gamma$ sono gli angoli del triangolo.
Spiego come l'ho risolto e chiedo a qualcuno se è disponibile di dirmi se ho commesso eventuali errori. Inizialmente ricordo che $\alpha/2 + \beta/2 +\gamma/2=pi/2$ da cui $\gamma/2=pi/2-\alpha/2-\beta/2$ che si va a sostituire all'espressione iniziale ottenendo $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)sen(pi/2-\alpha/2-\beta/2)<1/4$ e sapendo che $sen(pi/2-x)=cosx$ allora $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)cos(\alpha/2+\beta/2)<1/4$. Applicando la regola del coseno della somma di angoli si passa a $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)[cos(\alpha/2)cos(\beta/2)-sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]<1/4$, quindi $sen(\alpha/2)cos(\alpha/2)sen(\beta/2)cos(\beta/2)-[sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]^2<1/4$. Per formule di duplicazione si ha che $senxcosx=(sen2x)/2$ per cui l'espressione diventa $(sen\alpha sen\beta)/4 - [sen(\alpha/2) sen(\beta/2)]^2<1/4$ e moltiplicando tutto per $4$, $sen\alpha sen\beta - 4[sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]^2<1$. Poichè $sen\alpha sen\beta$ è massima e uguale a $1$ per $\alpha=\beta=pi/2$ ed è impossibile per un triangolo avere due angoli retti allora $sen\alpha sen\beta<1$ mentre $-4[sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]^2$ è sempre negativa o al massimo uguale a $0$, per cui la somma delle due espressioni rimane minore di $1$. c.v.d.
Spiego come l'ho risolto e chiedo a qualcuno se è disponibile di dirmi se ho commesso eventuali errori. Inizialmente ricordo che $\alpha/2 + \beta/2 +\gamma/2=pi/2$ da cui $\gamma/2=pi/2-\alpha/2-\beta/2$ che si va a sostituire all'espressione iniziale ottenendo $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)sen(pi/2-\alpha/2-\beta/2)<1/4$ e sapendo che $sen(pi/2-x)=cosx$ allora $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)cos(\alpha/2+\beta/2)<1/4$. Applicando la regola del coseno della somma di angoli si passa a $sen(\alpha/2)sen(\beta/2)[cos(\alpha/2)cos(\beta/2)-sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]<1/4$, quindi $sen(\alpha/2)cos(\alpha/2)sen(\beta/2)cos(\beta/2)-[sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]^2<1/4$. Per formule di duplicazione si ha che $senxcosx=(sen2x)/2$ per cui l'espressione diventa $(sen\alpha sen\beta)/4 - [sen(\alpha/2) sen(\beta/2)]^2<1/4$ e moltiplicando tutto per $4$, $sen\alpha sen\beta - 4[sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]^2<1$. Poichè $sen\alpha sen\beta$ è massima e uguale a $1$ per $\alpha=\beta=pi/2$ ed è impossibile per un triangolo avere due angoli retti allora $sen\alpha sen\beta<1$ mentre $-4[sen(\alpha/2)sen(\beta/2)]^2$ è sempre negativa o al massimo uguale a $0$, per cui la somma delle due espressioni rimane minore di $1$. c.v.d.
Risposte
Sposto dove più appropriato.
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