Probema 3 SNS 2015

tommy1996q
Posto qui il testo e nello spoiler la mia soluzione che (spero) sia giusta. Ogni correzione, consiglio o metodo risolutivo diverso è ben accetto.

Si dimostri che per $n>=1$ e $k>=2$ è sempre possibile scrivere $n^k$ come somma di esattamente n numeri dispari.


Risposte
E-3131
Probabilmente sto dicendo una sciocchezza, ma non basta osservare che se $ n $ è pari anche $ n^k$ è pari, quindi sommando un numero pari di numeri dispari ottieni un numero pari; e se $ n $ è dispari anche $n^k$ è dispari, quindi sommando un numero dispari di numeri dispari, ottieni un numero dispari; e poi il problema non sembra chiedere che i numeri siano in ordine conseguenziale; (Sicuramente non ho capito in pieno il tuo ragionamento, però mi sembra che tu hai preso i numeri dispari in ordine conseguenziale); ad esempio prendi $ 3^3=27=7+9+11=5+9+13$.

donald_zeka
Probabilmente sto dicendo una sciocchezza, ma non basta osservare che se $n$ è pari anche $n^k$ è pari, quindi sommando un numero pari di numeri dispari ottieni un numero pari; e se $n$ è dispari anche $n^k$ è dispari, quindi sommando un numero dispari di numeri dispari, ottieni un numero dispari


Beh si effettivamente ci hai azzeccato, è una grossa sciocchezza :-D

Il problema chiede di dimostrare che $n^k$ si può esprimere come una somma di ESATTAMENTE $n$ numeri dispari, non di dimostrare che $n^k$ si può esprimere come somma di numeri dispari, questo è ovvio, ed è proprio quello che hai detto tu.

Che uno lo dimostri per numeri consequenziali o meno non ha importanza, basta che verifichi quello che chiede il problema, la soluzione di @tommy1996q è corretta, ossia ha dimostrato che $n$ numeri dispari successivi del tipo $m=n^(k-1)-n+1$ verificano la tesi.

E-3131
"Vulplasir":

Beh si effettivamente ci hai azzeccato, è una grossa sciocchezza :-D

Almeno qualcosa ci ho azzeccato :D

tommy1996q
E-313 tranquillo che tutti diciamo sciocchezze, dovevi vedermi oggi alla prova di fisica... Comunque posterò tutti quelli che ho fatto con relativa dimostrazione che (sperando in bene) dovrebbe essere giusta

xXStephXx
Dovrebbe bastar trovare $x$ e $y$ naturali tali che $n^k=x^2-y^2$ con $x-y=n$ no?

tommy1996q
Perché? Poi troveresti $n^k$ come differenza di quadrati, come ti ricolleghi a una serie parziale di numeri dispari?

tommy1996q
ah è vero mi è venuto in mente ora, si hai ragione

tommy1996q
tu dici che la somma dei primi n dispari è uguale a $n^2$, e mettendolo in quella maniera trovi x e y con le limitazioni imposte dal problema, si effettivamente è un metodo più veloce, anche se non dà una formula chiusa va comunque bene

xXStephXx
quale formula chiusa? I numeri in questione saranno quelli che vanno da $2y+1$ a $2x-1$. E il sistema si risolve facilmente considerando che $x+y=n^{k-1}$ e $x-y=n$.

coleridge1
Scusate, ma non capisco la difficoltà del problema.
Non basta scrivere \(\displaystyle n^k = \underbrace{1+1+\ldots+1}_{n-1}+x \) e osservare che \(\displaystyle x = n^k-n+1 \) è positivo e dispari?

tommy1996q
è vero, non ci avevo pensato in effetti, ricavi y e per trovare m fai 1+2y. A quanto pare mi sono complicato la vita :)

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