Probabilità di pescare un numero naturale
Pongo un quesito che mi ha fatto riflettere...
Supponiamo di avere un sacchetto contenente tutti i numeri naturali. Qual è la probabilità di estrarre 100?
In teoria 0, ma in pratica?
Stiamo dicendo che un evento possibile nella realtà ha probabilità 0.
Ho dato una spiegazione a questa cosa accettando il fatto che l'ipotesi dalla quale parto non è fattibile, non esiste il concetto di infinito nella realtà.
Partendo da principio che nella natura un evento possibile ha probabilità non nulla, non possiamo misurare un range infinito (anche numerabile) di valori poiché ogni valore ha probabilità 0 di essere misurato. Tuttavia non possiamo neanche fare infinite misurazioni inoltre ogni strumento di misurazione ha una sensibilità e una portata. Quindi ogni volta che si misura non si conosce a priori il range di valori che la grandezza pu assumere finché non si fanno un numero abbastanza grande di misurazioni. Se per esempio Bob misura una velocità per Bob la velocità potrà assumere solo quel range di valori da lui misurato e non per esempio la velocità della luce ma per Bob la velocità limite nell'universo al tempo t è la più alta da lui misurata. Ho elucubrato troppo, lo so...
Supponiamo di avere un sacchetto contenente tutti i numeri naturali. Qual è la probabilità di estrarre 100?
In teoria 0, ma in pratica?
Stiamo dicendo che un evento possibile nella realtà ha probabilità 0.
Ho dato una spiegazione a questa cosa accettando il fatto che l'ipotesi dalla quale parto non è fattibile, non esiste il concetto di infinito nella realtà.
Partendo da principio che nella natura un evento possibile ha probabilità non nulla, non possiamo misurare un range infinito (anche numerabile) di valori poiché ogni valore ha probabilità 0 di essere misurato. Tuttavia non possiamo neanche fare infinite misurazioni inoltre ogni strumento di misurazione ha una sensibilità e una portata. Quindi ogni volta che si misura non si conosce a priori il range di valori che la grandezza pu assumere finché non si fanno un numero abbastanza grande di misurazioni. Se per esempio Bob misura una velocità per Bob la velocità potrà assumere solo quel range di valori da lui misurato e non per esempio la velocità della luce ma per Bob la velocità limite nell'universo al tempo t è la più alta da lui misurata. Ho elucubrato troppo, lo so...
Risposte
Piccola premessa: Chi ti dice che non esiste il concetto di infinito nella realtà? Cosa intendi per "realtà"? Un evento che è possibile non necessariamente ha probabilità non nulla ma può avere una probabilità nulla ed essere un evento possibile. Guarda l'evento lanciare una freccetta in un bersaglio, la probabilità che colpisca un particolare punto del cerchio è \(0\) ma è un evento possibile 
Comunque sia non esiste una distribuzione uniforme sui numeri naturali quindi la domanda stessa non ha senso! Supponi che esiste allora per ogni \(n \in \mathbb{N} \) la probabilità di pescare \(n \) è \(0 \leq \mathbb{P}(\text{pesco } n)= p \leq 1 \).
Ora per ogni distribuzione abbiamo necessariamente che
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = 1 \]
da cui
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = \sum_{n \in \mathbb{N} } p \]
ora se \(p = 0 \) abbiamo che
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = 0 \]
se \( p > 0 \) allora
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = \infty \]
Quello che puoi fare è un limite, cioè prendi una distribuzione uniforme sugli intervalli \( \{0,1,\ldots, N\} \) e calcoli la probabilità \(P_N \) di estrarre il numero 100 in \( \{0,1,\ldots, N\} \), che è banalmente \( P_N = \frac{1}{N+1} \cdot \mathbf{1}_{ \{N \geq 100\} } \). Poi fai tendere \(N \to \infty \) ma non è proprio una probabilità.
Comunque sia non esiste una distribuzione uniforme sui numeri naturali quindi la domanda stessa non ha senso! Supponi che esiste allora per ogni \(n \in \mathbb{N} \) la probabilità di pescare \(n \) è \(0 \leq \mathbb{P}(\text{pesco } n)= p \leq 1 \).
Ora per ogni distribuzione abbiamo necessariamente che
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = 1 \]
da cui
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = \sum_{n \in \mathbb{N} } p \]
ora se \(p = 0 \) abbiamo che
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = 0 \]
se \( p > 0 \) allora
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = \infty \]
Quello che puoi fare è un limite, cioè prendi una distribuzione uniforme sugli intervalli \( \{0,1,\ldots, N\} \) e calcoli la probabilità \(P_N \) di estrarre il numero 100 in \( \{0,1,\ldots, N\} \), che è banalmente \( P_N = \frac{1}{N+1} \cdot \mathbf{1}_{ \{N \geq 100\} } \). Poi fai tendere \(N \to \infty \) ma non è proprio una probabilità.
"3m0o":
Comunque sia non esiste una distribuzione uniforme sui numeri naturali quindi la domanda stessa non ha senso! Supponi che esiste allora per ogni \(n \in \mathbb{N} \) la probabilità di pescare \(n \) è \(0 \leq \mathbb{P}(\text{pesco } n)= p \leq 1 \).
Ora per ogni distribuzione abbiamo necessariamente che
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = 1 \]
da cui
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = \sum_{n \in \mathbb{N} } p \]
ora se \(p = 0 \) abbiamo che
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = 0 \]
se \( p > 0 \) allora
\[ \sum_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{P}(\text{pesco } n) = \infty \]
Quello che puoi fare è un limite, cioè prendi una distribuzione uniforme sugli intervalli \( \{0,1,\ldots, N\} \) e calcoli la probabilità \(P_N \) di estrarre il numero 100 in \( \{0,1,\ldots, N\} \), che è banalmente \( P_N = \frac{1}{N+1} \cdot \mathbf{1}_{ \{N \geq 100\} } \). Poi fai tendere \(N \to \infty \) ma non è proprio una probabilità.
Si questa è la spiegazione che mi sono dato...
"3m0o":
Chi ti dice che non esiste il concetto di infinito nella realtà?
Se consideri la realtà come tutto ciò che è osservabile attraverso i 5 sensi allora mi pare ovvio escludere la possibilità di osservare l'infinito.
"3m0o":
Cosa intendi per "realtà"?
Appunto, tutto ciò da noi è raggiungibile mediante i 5 sensi. E tu potresti ribattere dicendo che il concetto di realtà è limitato a noi stessi. Creiamo noi la realtà. A mio parere non ha senso dire che qualcosa che non percepiamo direttamente sia reale.
"3m0o":
Guarda l'evento lanciare una freccetta in un bersaglio, la probabilità che colpisca un particolare punto del cerchio è 0 ma è un evento possibile
È proprio questo che non mi è chiaro... O la realtà è quantizzata e quindi possiamo definire una distribuzione uniforme su un insieme finito di regioni dello spazio dove una particella può colpire con probabilità A(R)/A, dove A(R) è l'area della regione e A l'area totale che è un multiplo intero di A(R).
Matematicamente un evento è possibile e avere probabilita nulla, ma nella realtà questo accade? Alla fine per calcolare una probabilità di un dato evento io effettuo un numero di prove finito e ogni evento osservato ha probabilità non nulla in quanto è accaduto almeno una volta in un certo numero di prove.
Allora vedila così, lancia una penna a caso su un tavolo, la probabilità che la penna formi un certo angolo fissato \( 0 \leq \theta < 2 \pi \) rispetto ad un asse prefissato è \(0\), poi questo angolo non lo puoi misurare con esattezza ma è un angolo, un valore vero, ed è certamente possibile che formi esattamente \( \theta \) nonostante la probabilità sia \(0\). Che poi tu con i tuoi 5 sensi non lo percepisci è un'altra storia, però esiste ed è reale!
La tua definizione di realtà non mi piace molto, con quella neanche i batteri esistono siccome non li percepiamo, ma sono reali ed esistono
Edit: Non ne so abbastanza di fisica per dirti se c'è qualche evento fisico reale possibile con probabilità \(0\) ma ti direi di sì, che ne so ad esempio il fatto che una particella abbia un certo stato quantistico su un continuo tipo la posizione. Ma ripeto non ne so abbastanza di fisica per risponderti veramente
Edit 2: Poi si potrebbe discutere se un certo modello rappresenta la realtà o meno, ma questa è un'altra storia
La tua definizione di realtà non mi piace molto, con quella neanche i batteri esistono siccome non li percepiamo, ma sono reali ed esistono
Edit: Non ne so abbastanza di fisica per dirti se c'è qualche evento fisico reale possibile con probabilità \(0\) ma ti direi di sì, che ne so ad esempio il fatto che una particella abbia un certo stato quantistico su un continuo tipo la posizione. Ma ripeto non ne so abbastanza di fisica per risponderti veramente
Edit 2: Poi si potrebbe discutere se un certo modello rappresenta la realtà o meno, ma questa è un'altra storia
"dan95":
Matematicamente un evento è possibile e avere probabilita nulla, ma nella realtà questo accade? Alla fine per calcolare una probabilità di un dato evento io effettuo un numero di prove finito e ogni evento osservato ha probabilità non nulla in quanto è accaduto almeno una volta in un certo numero di prove.
Un esempio potrebbe essere questo: se io e te abbiamo due dadi non truccati e ci chiediamo quanto è probabile che lanciandoli insieme escano sempre uguali e ci mettiamo a lanciarli, ad un certo punto compariranno 2 numeri diversi, quindi più che altro si può avere un'esperienza empirica di evento non certo con probabilità $1$, e con un passaggio logico, ma sempre con base empirica, abbiamo esperienza di un evento non impossibile con probabilità $0$.
Che è un po' la stessa roba di fare il lavoro sugli intervallini \( \{1,\ldots, N \} \) e poi fare il limite \(N \to \infty \)
I batteri possiamo osservarli con uno strumento anche gli atomi e le particelle possiamo osservarne il comportamento. Quindi sono reali.
Quello che dite è vero se chiedete infatti ad un fisico se esistono eventi possibili con probabilità 0 vi dirà di sì... È qui che io non sono d'accordo. Non può esistere il concetto di continuo nell'universo prendiamo l'esempio della penna. La probabilità non è più nulla se consideriamo che in realtà il concetto di angolo può essere quantizzato e quindi avrà un numero grande ma finito di possibilità e a noi ci appare come un continuo.
Tutto il mio ragionamento parte proprio dal principio che un evento possibile in natura ha probabilità non nulla. Non si può parlare di probabilità a priori di un dato evento ma dipende dall'osservazione e dai dati raccolti. Quindi riprendendo l'esempio della penna io farò un numero di prove $N$ ottenendo almeno una volta l'angolo $\pi/4$, continuando a provare e non ottenendo più quell'angolo la mia probabilità diminuisce ma non sarà mai nulla dato che almeno una volta ho trovato $\pi/4$.
Quello che dite è vero se chiedete infatti ad un fisico se esistono eventi possibili con probabilità 0 vi dirà di sì... È qui che io non sono d'accordo. Non può esistere il concetto di continuo nell'universo prendiamo l'esempio della penna. La probabilità non è più nulla se consideriamo che in realtà il concetto di angolo può essere quantizzato e quindi avrà un numero grande ma finito di possibilità e a noi ci appare come un continuo.
Tutto il mio ragionamento parte proprio dal principio che un evento possibile in natura ha probabilità non nulla. Non si può parlare di probabilità a priori di un dato evento ma dipende dall'osservazione e dai dati raccolti. Quindi riprendendo l'esempio della penna io farò un numero di prove $N$ ottenendo almeno una volta l'angolo $\pi/4$, continuando a provare e non ottenendo più quell'angolo la mia probabilità diminuisce ma non sarà mai nulla dato che almeno una volta ho trovato $\pi/4$.
"dan95":
Non può esistere il concetto di continuo nell'universo
Questo lo dici tu
"dan95":
La probabilità non è più nulla se consideriamo che in realtà il concetto di angolo può essere quantizzato e quindi avrà un numero grande ma finito di possibilità
Cosa intendi per "un angolo può essere quantizzato"? Comunque no! Non c'è un numero finito di possibilità per l'angolo ma proprio tutti gli angoli \(0 \leq \theta < 2 \pi \) sono possibili. Magari non uniformi ma bias però sono possibili tutti
"dan95":
Tutto il mio ragionamento parte proprio dal principio che un evento possibile in natura ha probabilità non nulla.
Il punto è che esiste.
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