Probabilità coprimi
Sapendo che $1+1/4+1/9+1/16+1/25+...+ 1/{n^2}+... = \pi^2/6$ calcolare la probabilità che due numeri naturali presi a caso siano coprimi. Mi accontento anche di una giustificazione piuttosto intuitiva 
[size=50]Quindi si suppone che questa sezione vada bene.....[/size]
[size=50]Quindi si suppone che questa sezione vada bene.....[/size]
Risposte
Premetto che ... non so rispondere.
Però potrebbe forse essere utile questa discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/show ... hp?t=21085
Però potrebbe forse essere utile questa discussione:
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Va un tantino oltre xD Basta anche una dimostrazione elementare e terra-terra.
Metto il mio spunto:
Pensavo: il primo numero ha probabilità $1/n$ di essere multiplo di $n$... e il secondo ha prob $1-1/n$ di non esserne multiplo... Da cui $1/n*(1-1/n)=1/n-1/n^2$... il problema è che il primo difficilmente sarà multiplo solo di $n$... Steph la strada è giusta o cambio completamente?
Pensavo: il primo numero ha probabilità $1/n$ di essere multiplo di $n$... e il secondo ha prob $1-1/n$ di non esserne multiplo... Da cui $1/n*(1-1/n)=1/n-1/n^2$... il problema è che il primo difficilmente sarà multiplo solo di $n$... Steph la strada è giusta o cambio completamente?
Diciamo che potresti aver preso la strada giusta ma passando fuori dalla carreggiata 
Quella che hai calcolato non è proprio la probabilità che i numeri non siano entrambi divisibili per $n$ e anche se lo fosse con $n$ generici non ci faresti molto
Quella che hai calcolato non è proprio la probabilità che i numeri non siano entrambi divisibili per $n$ e anche se lo fosse con $n$ generici non ci faresti molto
Metto un'idea:
Dati $ n $ numeri in ordine, ossia $ 1,2,3....,n $, vi sono $ \lfloor\frac{n}{2}\rfloor $ divisibili per due, $ \lfloor\frac{n}{3}\rfloor $ divisibili per tre, $ \lfloor\frac{n}{5}\rfloor $ divisibili per cinque, e cosi` via...
Sarebbe giusto usare il teorema del crivello per trovare tutti gli $ n $ con la proprieta` di essere non divisibli per $ 2,3,5,...$ ?
Dati $ n $ numeri in ordine, ossia $ 1,2,3....,n $, vi sono $ \lfloor\frac{n}{2}\rfloor $ divisibili per due, $ \lfloor\frac{n}{3}\rfloor $ divisibili per tre, $ \lfloor\frac{n}{5}\rfloor $ divisibili per cinque, e cosi` via...
Sarebbe giusto usare il teorema del crivello per trovare tutti gli $ n $ con la proprieta` di essere non divisibli per $ 2,3,5,...$ ?
non so secondo me conviene ragionare solo sui primi xD
) 
Ok Anche se ovviamente non sono in grado di comprendere il motivo dell'ultimo passaggio xD
Quella che intendevo era abbastanza brutale (e probabilmente rognosissima da formalizzare seriamente).
La probabilità che due numeri non siano entrambi divisibili per un primo $p$ è $1-1/p^2$. La probabilità che siano quindi coprimi è $\prod_p (1-1/p^2)$. Facendo il reciproco si ottiene $\prod_p (p^2/{p^2-1})=\prod_p (1/{1-1/p^2})=\prod_p (1+1/p^2+1/p^4+...)$ Quest'ultima con molto buonismo si può dire che è la somma dei reciproci dei quadrati (ma dovrebbe comunque essere convincente xD)
Anche se ovviamente non sono in grado di comprendere il motivo dell'ultimo passaggio xD Quella che intendevo era abbastanza brutale (e probabilmente rognosissima da formalizzare seriamente).
La probabilità che due numeri non siano entrambi divisibili per un primo $p$ è $1-1/p^2$. La probabilità che siano quindi coprimi è $\prod_p (1-1/p^2)$. Facendo il reciproco si ottiene $\prod_p (p^2/{p^2-1})=\prod_p (1/{1-1/p^2})=\prod_p (1+1/p^2+1/p^4+...)$ Quest'ultima con molto buonismo si può dire che è la somma dei reciproci dei quadrati
(ma dovrebbe comunque essere convincente xD)
"xXStephXx":
Sapendo che $1+1/4+1/9+1/16+1/25+...+ 1/{n^2}+... = \pi^2/6$ calcolare la probabilità che due numeri naturali presi a caso siano coprimi. Mi accontento anche di una giustificazione piuttosto intuitiva
Mi cito da un intervento in altro forum di due anni fa quasi
–––> # 010 in «Eulero ed Erasmus»
Riassumendo:
• Se p è un numero primo, il resto r delle divisione n:p è compreso tra 0 e p–1 inclusi. Supponendo che ogni possibile resto sia equiprobabile, la probabilità che n sia divisibile per p è dunque 1/p-
• La probabilità che due interi diversi n ed m siano entrambi divisibili per il numero primo p è 1/p^2. La probabilità che ciò non succeda (e allora "non entrambi m ed n sono divisibili per p") è 1 – 1/p^2.
• La probabilità P che due interi casuali distinti siano coprìmi è dunque il prodotto di tutti i fattori del tipo (1 – 1/p[size=85]k[/size]^2), dove p[size=85]k[/size] è il k-esimo numero primo che si incontra nella successione dei naturali, cioè:
P = (1 – /2^2)·(1 – 1/3^2)·(1 – 1/5^2)·(1 – 1/7^2)· ...·(1 - 1/p[size=85]k[/size]^2)· ...
• Sia Z(s) la funzione "zeta di Riemanm". Per s reale maggiore di 1 o per s = x + jy complesso con parte reale x maggiore di 1, la Z(s) è sviluppabile in serie convergente costituita dalla somma dei reciproci degli interi positivi elevati alla s
Eulero ha dimostrato che il prodotto
P(s) = (1 – /2^s)·(1 – 1/3^s)·(1 – 1/5^s)·(1 – 1/7^s)· ...·(1 - 1/p[size=85]k[/size]^s)· ... [dove p[size=85]k[/size] è il k-esimo mumero primo] tende al reciproco di Z/s)
Quel prodotto P(s), per s = 2 vale la probabilità che due numeri interi casuali positivi siano coprìmi. D'alra parte Z(2) = π^2/6.
E dunque la probabilità che due interi positivi casuali siano coprìmi è 6/π^2.
Ciao ciao
––––––––
Una probabilità maggiore di 1?
"@melia":
Una probabilità maggiore di 1?
Solo errore di scrittura, va inteso
$ 6/(pi^2)=0,60792710185403 $
"@melia":
Una probabilità maggiore di 1?
Errore digitale fu!
Ho scritto « ... probabilità 6/π=2.»
Mi pare però automatica la necessaria correzione con « ... probabilità 6/π^2.» nella testa di qualunque frequentatore di un forum di matematica.
Non solo sarebbe assurda una probabilità maggiore di 1, ma ancora più assurda sarebbe l'uguaglianza 6/π = 2 (che vorrebbe dire che una circonferenza è lunga ESATTAMENTE tre suoi diametri).
).Mi pare evidente la correzione da fare ad un banale errore di digitazione di un solo carattere: appunto col reciproco di
Z(2) = 1 + 1/2^2 è 1/3^2 + 1/5^2 + --- + 1/n^2 + ... =
= < Somma, per n da 1 a +oo, di 1/n^2 > = (π^2)/6.
Ciao ciao
––––
Non te la prendere, non è mica facile leggere quello che scrivi.
Potresti anche provare a scrivere le formule con MathML, trovi le istruzioni qui.
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