Probabilità

[kilikion1]

Data una scatola contenete $n$ palline bianche e $k$ palline nere - $n>k$ - si estrae casualmente una pallina dopo l'altra.Calcolare la probabilità che dopo $2k$ estrazioni siano state estratte $k$ palline bianche e $k$ palline nere.

[kobeilprofeta]

Uso la ipergeometrica:
$P= (((k),(k))*((n),(k)))/(((n+k),(2k)))$

[Luca114]

Premetto che non ho mai studiato probabilità, tranne quelle tre nozioni di base.
Non mi è chiaro dal testo se durante le $2k$ estrazioni le palline vengono rimesse nella scatola oppure no.
In ogni caso ho preso un esempio: supponiamo di avere $15$ palline bianche ($n$) e $5$ palline nere ($k$) con numero palline bianche $>$ numero palline nere ($n>k$).
Dobbiamo calcolare la probabilità che dopo $10$ estrazioni siano state estratte $5$ palline bianche e $5$ palline nere.
La probabilità che esca una pallina bianca è di $3/4$ e che esca una pallina nera $1/4$.

Ciò che richiede l'esercizio è, in poche parole, di calcolare la probabilità che in $10$ estrazioni escano $5$ palline bianche e nere. Da qui la mia domanda. Se le palline, in queste $10$ estrazioni, non venissero rimesse nella scatola, la questione si complicherebbe.
Ad ogni modo non riesco a concludere l'esercizio.

C'è un modo più semplice di risolvere l'esercizio senza usare la distribuzione ipergeometrica?

[milizia96]

Se vi è d'aiuto:
la probabilità da calcolare è uguale alla probabilità che, estraendo tutte le palline una dopo l'altra, le prime $2k$ estratte siano $k$ bianche e $k$ nere, che è uguale alla probabilità che le ultime $2k$ estratte siano $k$ bianche e $k$ nere, che è uguale alla probabilità che le prime $n+k-2k=n-k$ palline estratte siano tutte bianche, che è uguale alla probabilità che se si estraggono $n-k$ palline, esse siano tutte bianche.
Ma spero di non aver confuso ancora di più le idee xD