Prima algebra del 2021

[zimmerusky]

Siano $a, b, c, d$ numeri reali positivi tali che $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$.
Dimostrare che $ a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a>=4$

[kilogrammo1]

Ho tentato ma è troppo difficile

[qualcuno4]

Ho provato anch'io. è veramente difficile.

[axpgn]

Ho trovato questa ...

$(a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a)(a^2b+b^2c+c^2d+d^2a)>=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=16$

Ne consegue che si deve dimostrare $(a^2b+b^2c+c^2d+d^2a)<=4$

Di nuovo come la prima $(a^2b+b^2c+c^2d+d^2a)^2<=(a^2+b^2+c^2+d^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2)$

Ma il primo fattore a destra vale $4$, quindi diventa $4(a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2)=4(a^2+c^2)(b^2+d^2)$

Usando infine AM-GM otteniamo $4(a^2+c^2)(b^2+d^2)<=4((a^2+b^2+c^2+d^2)/2)^2=16$

Ovvero $(a^2b+b^2c+c^2d+d^2a)^2<=16$

Cordialmente, Alex

[kilogrammo1]

@axpgn Bravo

[axpgn]

L'ho trovata, non è mia ... dopo tre mesi è accettabile

[totissimus]

$$\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{d^{2}}{4}}\left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{a^{2}}{4}}\left(\frac{1}{c}\right)^{\frac{b^{2}}{4}}\left(\frac{1}{d}\right)^{\frac{c^{2}}{4}}\leq\frac{d^{2}}{4}\frac{1}{a}+\frac{a^{2}}{4}\frac{1}{b}+\frac{b^{2}}{4}\frac{1}{c}+\frac{c^{2}}{4}\frac{1}{d}=\frac{1}{4}\left(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{d}+\frac{d^{2}}{a}\right)$$

Nota $$x_{1}^{\lambda_{1}}\ldots x_{n}^{\lambda_{n}}\leq\lambda_{1}x_{1}+\ldots+\lambda_{n}x_{n}$$,
$$\lambda_{i}\geq0,\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}=1$$

$$\left(a\right)^{\frac{d^{2}}{4}}\left(b\right)^{\frac{a^{2}}{4}}\left(c\right)^{\frac{b^{2}}{4}}(d)^{\frac{c^{2}}{4}}\leq\frac{d^{2}}{4}a+\frac{a^{2}}{4}b+\frac{b^{2}}{4}c+\frac{c^{2}}{4}d=\frac{1}{4}\left[d(da)+a(ab)+b(bc)+c(cd)\right]\leq\frac{1}{4}\sqrt{d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}\sqrt{d^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}}=$$

$$\frac{1}{4}2\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}=\frac{1}{2}\sqrt{(a^{2}+c^{2})(4-a^{2}-c^{2})}=\frac{1}{2}\sqrt{4(a^{2}+c^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}\leq\frac{1}{2}2=1$$

$$\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{d^{2}}{4}}\left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{a^{2}}{4}}\left(\frac{1}{c}\right)^{\frac{b^{2}}{4}}\left(\frac{1}{d}\right)^{\frac{c^{2}}{4}}\geqq1$$

[qualcuno4]

@totissimus non c'è una soluzione più breve?

[totissimus]

@qualcuno

$\frac{a^{3}cd}{4}+\frac{b^{3}ad}{4}+\frac{c^{3}ab}{4}+\frac{d^{3}bc}{4}=\frac{a^{2}}{4}(acd)+\frac{b^{2}}{4}(abd)+\frac{c^{2}}{4}(abc)+\frac{d^{2}}{4}(dbc)\geq(acd)^{\frac{a^{2}}{4}}(abd)^{\frac{b^{2}}{4}}(abc)^{\frac{c^{2}}{4}}(bcd)^{\frac{d^{2}}{4}}=a^{1-\frac{d^{2}}{4}}b^{1-\frac{a^{2}}{4}}c^{1-\frac{b^{2}}{4}}d^{1-\frac{c^{2}}{4}}$

$=8\left(\frac{a}{2}\right)^{1-\frac{d^{2}}{4}}\left(\frac{b}{2}\right)^{1-\frac{a^{2}}{4}}\left(\frac{c}{2}\right)^{1-\frac{b^{2}}{4}}\left(\frac{d}{2}\right)^{1-\frac{c^{2}}{4}}\geq8\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)=abcd$

Negli ultimi due passaggi le basi delle potenze sono minori o uguali a 1

[qualcuno4]

@totissimus Non ho capito

[kilogrammo1]

@totissimus Anche io non ho capito

[j18eos]

@totissimus Sappi che le tue dimostrazioni mi piacciono; alcune le trovo tremendamente semplici, rispetto a problemi apparentemente difficili.

...ma commentare i vari passaggi aiuterebbe a capire che ragionamento hai svolto.

Grazie