$p(p+3)+q(q+2)= r(r+1)$ nei primi

[Gi81]

Risolvere l'equazione $p(p+3)+q(q+2)= r(r+1)$ con $p,q,r$ numeri primi.

[orsoulx]

$ p $ e $ p+3 $ hanno diversa parità, quindi il loro prodotto è pari. Lo stesso dicasi per $ r $ ed $ r+1 $; ed allora anche $ q(q+2) $ deve essere pari, perciò $ q=2 $ e $ q(q+2)=8 $.
Se $ p $ è primo, o è $ p=2 $ che implica $ r(r+1)=2 \cdot 5 +8=18 $ o $ p=3 $ che implica $ r(r+1)=3 \cdot 6 + 8 =26 $, entrambi impossibili. Oppure $ p(p+3) \equiv 1 $ $ mod 3 $ che comporta il primo membro multiplo di $ 3 $ e dunque $ 3 | r(r+1) $ ed $ r=6h-1 $ con $ h $ intero positivo.
Dovendo anche essere $ p $= 36 h^2-42h+10+8 -36h^2+6h=18-36h<0 $. L'equazione non ha soluzioni che siano terne di numeri primi.

Ciao
B.

[Gi81]

Mi sembra tutto corretto

[.Ruben.17]

[tex]p(p+3)+q(q+2)=r(r+1)[/tex]
per ogni p, [tex]p(p+3) \equiv 0~ mod2[/tex]
Per ogni r [tex]r(r+1) \equiv 0~ mod2[/tex]
Quindi [tex]q(q+2)=q^2 + 2q \equiv 0~ mod2[/tex]
Allora [tex]q \equiv 0~ mod2[/tex]
Poiché q deve essere primo, q = 2

L'equazione diventa:
[tex]p^2 + 3p +8 = r^2 + r[/tex]
Sappiamo che necessariamente
[tex]p = r + a \vee p=r-a ~ ~ con ~ a \in \mathbb{N}[/tex]
Analizziamo il primo caso
[tex]p^2 + 3p + 8 = (p+a)^2 + p + a[/tex]
[tex]p^2 +3p +8=p^2 +2pa + a ^2 +p+a[/tex]
[tex]p=\frac {a^2+a-8}{2-2a} = - \frac{1}{2} \frac {a^2+a-8}{a-1}[/tex]
[tex]p =- \frac{1}{2} \frac{ (a-1)(a+2)-6}{a-1}[/tex]

[tex]p =- \frac{1}{2}(a+2- \frac{6}{a-1} )=\frac{3}{a-1} -\frac{a}{2} -1[/tex]
[tex]a -1 =1 \vee a -1= 3[/tex]
[tex]a =2 \vee a=4[/tex]
[tex]p=1 \vee p= -2[/tex]
Entrambi non sono accettabili
Proviamo r = p-a
[tex]p^2 + 3p + 8 = (p+a)^2 + p + a[/tex]
[tex]p^2 +3p +8=p^2 -2pa + a ^2 +p-a[/tex]
[tex]p=\frac {a^2-a-8}{2+2a} = \frac{1}{2} \frac {a^2-a-8}{a+1}[/tex]
[tex]p= \frac{1}{2} \frac{(a+1)(a-2)-6}{a+1}[/tex]
[tex]p = \frac{a}{2} +1 - \frac{3}{a+1}[/tex]
Allora [tex]a+1=1 \vee a+1=3[/tex]
Da cui otteniamo:
[tex]p=-2 \vee p=1[/tex]
Entrambi non sono accettabili

Quindi l'equazione non ha soluzioni