Polinomio a coefficienti interi

[franco191]

Sia f(x) un polinomio a coefficienti interi: $f(x)=A_dX^d+...+a_1X+a_0$ dove $a_d\ne0$. Supponiamo che per ogni numero naturale n il valore f(n) sia primo.
1. Dedurre che allora il polinomio f(x) è costante.
2. Ottenere la stessa conclusione sotto l'ipotesi che ogni valore f(n) sia una potenza di un numero primo.

[Vincent46]

Beh, 0 è considerato numero naturale? Se sì, è facile.

1. Si ha che $a_0=f(0)$ è primo, quindi in particolare non può essere né $0$ né $1$. Ma allora $f(a_0)$ risulta divisibile per $a_0$, e quindi non è primo

2. Come prima, $a_0=f(0)=p^k$. Ma allora $f(a_0)=p^k(...)$, dove il termine dentro la parentesi non può essere anch'esso multiplo di $p$

[Erasmus_First]

"franco19":Sia f(x) un polinomio a coefficienti interi: $f(x)=A_dX^d+...+a_1X+a_0$ dove $a_d\ne0$. Supponiamo che per ogni numero naturale n il valore f(n) sia primo.
1. Dedurre che allora il polinomio f(x) è costante. [...]

Leggo "$a_d≠0$, ma forse intendevi "$a_0 ≠ 0$", se no ... mi pare che la scrittura non vada bene. Infatti, se è $a_d≠0$ e scrivi $a_d·x^d + ... +a_1x + a_0$ si presume che il polinomio non possa ridursi al solo monomio di grado 0 (ma, semmai, al solo monomio di grado d).
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