Poligoni casuali

[curie88]

Buona sera a tutti, vi propongo il seguente:

Dati 4 punti, nel piano, le cui coordinate siano solamente "intere" e comprese tra 0 e 2 (0 e 2 compresi),
Qual è la probabilità che tali punti, se congiunti con un segmento, formino:

A - Un triangolo qualsiasi. (ad esempio se due punti sono coincidenti)
B - Un triangolo non rettangolo.
C - Un poligono convesso.

E possibile stabilire quale poligono convesso, tra i possibili, è il più probabile?

[Vincent46]

"curie88":Buona sera a tutti, vi propongo il seguente:

Dati 4 punti, nel piano, le cui coordinate siano solamente "intere" e comprese tra 0 e 2 (0 e 2 compresi),
Qual è la probabilità che tali punti, se congiunti con un segmento, formino:

A - Un triangolo qualsiasi. (ad esempio se due punti sono coincidenti)
B - Un triangolo non rettangolo.
C - Un poligono convesso.

E possibile stabilire quale poligono convesso, tra i possibili, è il più probabile?

Proviamo, sperando di non aver sbagliato troppo a contare

Vediamo la scelta di $4$ punti del piano come una quaterna ordinata di elementi scelti fra i $9$ possibili.

$A)$ Le quaterne ordinate che individuano un triangolo sono quelle in cui ci sono esattamente due punti coincidenti (posso contarle così: fra i $9$ punti possibili ne scelgo $3$ distinti, poi scelgo quale dei tre sarà ripetuto e dunque ho altre $3$ scelte possibili, infine considero tutte le $12$ permutazioni della quaterna così trovata: in tutto sono $3024$). Va imposta la condizione che i tre punti "contati senza molteplicità" non siano allineati (sono da escludere $288$ casi). In tutto, dunque, ci sono $2736$ quaterne "buone". Siccome le quaterne possibili sono $9^4$, ne risulta una probabilità di $0.417$.

$B)$ Poiché ogni quaterna "buona" ha la medesima possibilità di essere scelta, e i triangoli rettangoli possibili sono (se non sbaglio) $44$ a fronte dei $76$ triangoli totali, la probabilità richiesta è $32/76 (0.417) = 0.176$.

$C)$ Calcoliamo la probabilità di ottenere un quadrilatero convesso. Se non sbaglio, vanno bene tutte le configurazioni di quattro punti distinti, eccetto quelle in cui tre punti risultino allineati e eccetto quelle in cui tre punti formano un triangolo che contiene il quarto punto al suo interno.
Le quaterne ordinate con quattro punti distinti, di cui tre allineati, dovrebbero essere $1152$. Quelle che formano un triangolo col quarto punto in mezzo dovrebbero essere $216$. Le quaterne di quattro punti distinti, $3024$. In fin dei conti, la probabilità richiesta è $0.318$.

Dunque mi sembra che i triangoli vincano sui quadrilateri.

[curie88]

Buona sera Vincent46, intanto ti ringrazio per la risposta, ma non mi trovo con i calcoli da te svolti:

"Vincent46":

$A)$ fra i $9$ punti possibili ne scelgo $3$ distinti, poi scelgo quale dei tre sarà ripetuto e dunque ho altre $3$ scelte possibili, infine considero tutte le $12$ permutazioni della quaterna così trovata: in tutto sono $3024$

Dal tuo ragionamento(che intuitivamente mi pare corretto) io sono indotto a procedere in questo modo per calcolare la probabilità, per intanto senza considerare che sono allineati(concedimi un passo per volta): $ P = 3/9 * 1/3 * 1/12 $

[Vincent46]

"curie88":Buona sera Vincent46, intanto ti ringrazio per la risposta, ma non mi trovo con i calcoli da te svolti:
[quote="Vincent46"]

$A)$ fra i $9$ punti possibili ne scelgo $3$ distinti, poi scelgo quale dei tre sarà ripetuto e dunque ho altre $3$ scelte possibili, infine considero tutte le $12$ permutazioni della quaterna così trovata: in tutto sono $3024$

Dal tuo ragionamento(che intuitivamente mi pare corretto) io sono indotto a procedere in questo modo per calcolare la probabilità, per intanto senza considerare che sono allineati(concedimi un passo per volta): $ P = 3/9 * 1/3 * 1/12 $

[/quote]

ciao curie88 non ho capito benissimo come calcoli la probabilità. non mi ritrovo perfettamente nei tuoi numeri. per confronto, il modo in cui ho proceduto io è il seguente:

$1)$ fra i $9$ punti ne ho scelti $3$ distinti: questo si può fare in $((9),(3)) = 84$ modi.
$2)$ ho scelto quali dei tre sarà ripetuto, per cui moltiplico per $3$ e siamo a quota $252$.
$3)$ infine, avendo considerato quaterne ordinate, bisogna considerare che corrispondono al medesimo triangolo tutte le quaterne che contengono gli stessi punti, ma in ordine diverso. perciò bisogna moltiplicare $252$ per le permutazioni di quattro oggetti, di cui due (i punti coincidenti) sono uguali. tale numero è $\frac{4!}{2!} = 12$, perciò in tutto arrivo a $3024$.

[curie88]

Ciao @Vincent46, in effetti non calcolato bene. Comunque ora mi ritrovo con la tua semplice spiegazione.

Per concludere il primo punto, mi resta da chiarire, in che modo trovare i casi da escludere dei punti allineati.
Qui mi viene da pensare che devono giacere sulla stessa retta...niente di più...ma questo mi pare, centri poco con la probabilità.

Nel punto $B)$, come hai calcolato il numero di triangolo rettangoli?
I quadrati "buoni" sono $6$, per ciascun quadrato ci sono $8$ triangoli rettangoli, in tutto a me uscirebbero $48$...quindi $4$ si ripetono?

[Vincent46]

Per quanto riguarda il caso dei quattro punti di cui tre allineati, e il quarto coincidente con uno degli altri tre:

ci sono solo $8$ terne di punti allineati, cioé le $3$ terne con ascissa costante, le $3$ con ordinata costante e quelli sulle diagonali del quadratone. Per ognuna delle $8$ terne scegliamo un dei tre vertici che sarà ripetuto; siamo a quota $24$ scelte. Infine, considerando le solite $12$ permutazioni, arriviamo a $24*12=288$ quaterne di questo tipo.

i triangoli rettangoli li ho contati a mano, c'è molta simmetria e non ci si mette molto. non ho capito cosa intendi per quadrati "buoni". O meglio, forse ho capito ma non mi tornano i conti. se volessimo procedere così, forse si potrebbe portare avanti un ragionamento del genere:

nel quadratino individuato dall'origine e dai punti $(1,0), (1,1), (0,1)$ ci sono quattro triangoli rettangoli. Ci sono altri tre quadratini di lato $1$ possibili, quindi essi contengono in tutto $16$ triangoli rettangoli. Poi c'è il quadratone di lato $2$, che contiene (nel senso che i seguenti triangoli hanno i vertici tutti sul quadratone) $4$ triangli rettangoli coi cateti lunghi $2$, $4$ coi cateti lunghi $1$ che però abbiamo già contato prima, e $16$ triangoli rettangoli con un lato lungo $2$ e l'altro lungo $1$. Inoltre ci sono anche i $4$ ottenuti unendo il centro del quadratone con i vertici del quadratone. Quindi $24$ nuovi e arriviamo a $40$. Infine c'è il quadratone coi lati paralleli alle bisettrici del primo e terzo quadrante. Questo contiene altri $4$ triangoli rettangoli nuovi e arriviamo a $44$. se non ne ho dimenticato qualcuno dovrebbero essere tutti.

[curie88]

"Vincent46":ci sono solo 8 terne di punti allineati, cioé le 3 terne con ascissa costante, le 3 con ordinata costante e quelli sulle diagonali del quadratone. Per ognuna delle 8 terne scegliamo un dei tre vertici che sarà ripetuto; siamo a quota 24 scelte. Infine, considerando le solite 12 permutazioni, arriviamo a 24⋅12=288 quaterne di questo tipo.

Chiarissimo.

"Vincent46":nel quadratino individuato dall'origine e dai punti (1,0),(1,1),(0,1) ci sono quattro triangoli rettangoli. Ci sono altri tre quadratini di lato 1 possibili, quindi essi contengono in tutto 16 triangoli rettangoli. Poi c'è il quadratone di lato 2, che contiene (nel senso che i seguenti triangoli hanno i vertici tutti sul quadratone) 4 triangli rettangoli coi cateti lunghi 2, 4 coi cateti lunghi 1 che però abbiamo già contato prima, e 16 triangoli rettangoli con un lato lungo 2 e l'altro lungo 1. Inoltre ci sono anche i 4 ottenuti unendo il centro del quadratone con i vertici del quadratone. Quindi 24 nuovi e arriviamo a 40. Infine c'è il quadratone coi lati paralleli alle bisettrici del primo e terzo quadrante. Questo contiene altri 4 triangoli rettangoli nuovi e arriviamo a 44. se non ne ho dimenticato qualcuno dovrebbero essere tutti.

Ok, mi trovo. Poi stamattina(prima di leggere il msg) è venuto in mente pure a me di procedere in questo modo, ma me ne sfuggivano ancora $4$.

Nel punto $B)$ sbaglio o hai calcolato la probabilità che i triangoli siano rettangoli?
(nota che c' era un $NON$ in tal caso, altrimenti non capisco il tuo svolgimento)
A dire il vero non ho nemmeno ben chiaro perché moltiplichi per la probabilità ricavata nel punto $A)$,
Perché si calcola la probabilità della probabilità in questo modo?

In ogni caso, ti ringrazio molto, ho già chiarito molte cose. Il problema me lo sono inventato, ma da solo non avrei mai capito come trovare le tre soluzioni.

[Vincent46]

"curie88":
Nel punto $B)$ sbaglio o hai calcolato la probabilità che i triangoli siano rettangoli?
(nota che c' era un $NON$ in tal caso, altrimenti non capisco il tuo svolgimento)

ho sbagliato a scrivere il numero. ora dovrebbe essere corretto.

Perché si calcola la probabilità della probabilità in questo modo?

Siano
$A={\text{ottengo un triangolo}}$
$B={\text{ottengo un triangolo non rettangolo})$
Notare che $B \subset A$. Allora
$P(B)=P(B|A)P(A)$.
Inoltre, poiché ogni triangolo ha la stessa possibilità di essere scelto (nel senso: per ogni scelta di tre punti non allineati ci sono lo stesso numero di quaterne corrispondenti al triangolo individuato da quei tre punti), e cioé tutti i triangoli sono "equiprobabili", $P(B|A)$ è semplicemente corrispondente al rapporto fra il numero dei triangoli non rettangoli e i triangoli totali.

comunque complimenti, è un bel problema!

[curie88]

Potresti spiegarmi cortesemente cosa sta a indicare il simbolo $|$ tra $B$ e $A$ nella formula da te postata(in pratica come devo tradurlo in italiano)? ($ P(B) = P(B|A)P(A) $), la lacuna è dovuta al fatto che per me(e per fortuna mia) la matematica è solo un passatempo.

Mi fa piacere che il problema ti è piaciuto!

[Vincent46]

"curie88":Potresti spiegarmi cortesemente cosa sta a indicare il simbolo $|$ tra $B$ e $A$ nella formula da te postata(in pratica come devo tradurlo in italiano)? ($ P(B) = P(B|A)P(A) $), la lacuna è dovuta al fatto che per me(e per fortuna mia) la matematica è solo un passatempo.

Mi fa piacere che il problema ti è piaciuto!

Sarebbe "probabilità di $B$ dato $A$". Comunque in realtà il concetto è semplice. Fai conto che ci siano $100$ persone, di cui $50$ maschi e $50$ femmine. Ne scegliamo una a caso. La probabilità di scegliere un maschio è $1/2$. Ora supponiamo che $10$ di quei $50$ siano biondi. Qual è la probabilità di scegliere un maschio biondo fra le $100$ persone? è pari alla probabilità di scegliere un maschio per la proporzione di maschi biondi sul totale dei maschi, cioé $1/5 * 1/2$. Così pure per la probabilità di scegliere un triangolo non rettangolo coi quattro punti scelti a caso: è la probabilità di scegliere un triangolo per la proporzione di triangoli non rettangoli sul totale dei triangoli.

[curie88]

Si, chiarissimo. Grazie ancora, in effetti è semplice come dici.

[Vincent46]

"curie88":Si, chiarissimo. Grazie ancora, in effetti è semplice come dici.