Poliedri

[Vincent46]

Dimostrare che non esistono poliedri aventi per facce solo esagoni e pentagoni e tali che il numero di facce pentagonali sia dispari. (Per poliedro sottintendo: poliedro semplice, cioé meomorfo alla sfera)

Può tornare utile la seguente formula:

Per ogni poliedro che abbia solo facce triangolari, vale
$3p_3 + 2p_4 + p_5 = p_7 + 2p_8 +... + (m-6) p_m + 12$
dove $p_i$ indica il numero di vertici incidenti con esattamente $i$ lati.

[Pachisi]

Non sono sicuro, perché non è nemmeno 2 righe.

Sia $x$ il numero di pentagoni, e $y$ il numero di esagoni. Allora, il numero di spigoli è $(5x+6y)/2$. Essendo $x$ dispari, non è intero, il che è un assurdo.

[Vincent46]

"Pachisi":Non sono sicuro, perché non è nemmeno 2 righe.

Sia $x$ il numero di pentagoni, e $y$ il numero di esagoni. Allora, il numero di spigoli è $(5x+6y)/2$. Essendo $x$ dispari, non è intero, il che è un assurdo.

Ops, è vero, che stupido a questo punto temo di non ricordare il problema "giusto".

Già che ci siamo: dimostrare che i pentagoni devono essere almeno $12$.

[Erasmus_First]

"Vincent46":[...]
$3p_3 + 2p_4 + p_5 = p_7 + 2p_8 +... + (m-6) p_m$
dove $p_i$ indica il numero di vertici incidenti con esattamente $i$ lati.

Non capisco la qualifica di "incidenti" data ai vertici (uno dei quali è estremo di $i$ spigoli).
Ma, soprattutto, che cos'è $m$ ?

________

[Vincent46]

"Erasmus_First":

[quote="Vincent46"][...]
$3p_3 + 2p_4 + p_5 = p_7 + 2p_8 +... + (m-6) p_m$
dove $p_i$ indica il numero di vertici incidenti con esattamente $i$ lati.

Non capisco la qualifica di "incidenti" data ai vertici (uno dei quali è estremo di $i$ spigoli).
Ma, soprattutto, che cos'è $m$ ?