Piramidi a base quadrata con tre spigoli laterali di data lunghezza.

[Erasmus_First]

Si considerino tutte le piramidi con base ABCD quadrata (di lati AB = BC = CD = DA), di vetice V e che hanno tre spigoli laterali con le seguenti lunghezze (in una comune arbitraria unità di misura:
AV = 131; BV = 179; CV = 151.
Sia infine H il piede dell'altezza nel piano della base (ossia la proiezione ortogonale del vertice V nel piano della base ABCD).
• Determinare il lato del quadrato-base e l'altezza della piramide (tra tutte quelle con le dette proprietà) che ha il volume massimo.
• Tra tutte le piramidi con le dette proprietà ce n'è una nella quale H – piede dell'altezza nel piano della base – è un punto del perimetro della base? Se SI', determinare il lato del quadrato-base e l'altezza di tale piramide e la posizione di H, (ossia: il lato cui appartiene H e la distanza di H da un suo estremo).
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P.S.
Non c'è bisogno di svolgere effettivamente il calcolo numerico (che è qualcosa di ... noioso!).
E' sufficiente impostarlo, magari sostituendo i numeri dati con simboli letterali... e poi procedere appunto con calcolo simbolico.
O almeno ... evitare di scrivere numeri decimali! Se per esempio si incotraasse la radice quadrata di un intero (diciamolo n) la si lasci indicata come $sqrtn$ (per esempio $sqrt(2)$ e non 1,41421356 ...).

[giammaria2]

I dati sono stati scritti bene? Lo chiedo perché vengono numeri decisamente brutti.

Posto
$a=AV=131;" "b=BV=179;" "c=CV=151; " "h=HV$
si ha
$AH^2=a^2-h^2;" "BH^2=b^2-h^2;" "CH^2=c^2-h^2$
Indicando con $x,y$ le distanze di $H$ da $BC,AB$ e con $l$ il lato del quadrato si ha
${(AH^2=(l-x)^2+y^2),(BH^2=x^2+y^2),(CH^2=x^2+(l-y)^2):}" "->{(BH^2=x^2+y^2),(AH^2=BH^2-2lx+l^2),(CH^2=BH^2-2ly+l^2):}$
cioè, sostituendo i valori precedentemente calcolati,
${(b^2-h^2=x^2+y^2),(a^2-h^2=b^2-h^2-2lx+l^2),(c^2-h^2=b^2-h^2-2ly+l^2):}$
Dalle ultime due equazioni si ricava
${(x=(l^2+p)/(2l)),(y=(l^2+q)/(2l)):}" "$ avendo posto $" "{(p=b^2-a^2=120*124),(q=b^2-c^2=120*77):}$

E' ora facile rispondere alla seconda domanda: H non può essere sul lato AB perché avremmo $y=0$; può invece essere su CD perché avremmo $y=l$ e questo si verifica se $l=sqrt q$. Analogamente, H non può essere sui BC ed è su AD se $l=sqrt p$. Usando le formule scritte, anche le altre risposte sono immediate ($h$ si ricava dalla prima equazione).

Più laboriosa è la prima domanda. Sostituiamo $x,y$ nella prima equazione, che diventa
$b^2-h^2=((l^2+p)^2+(l^2+q)^2)/(4l^2)$
e permette il calcolo di $h$ in funzione di $l$; lo sostituiamo in $V=1/3l^2h$. Per evitare il fastidio della radice ho però preferito considerare la funzione $f(l)=V^2=1/9l^4h^2$, che è un polinomio in $l$; ho poi imposto che la derivata si annulli, ottenendo un'equazione biquadratica. Quindi nulla di concettualmente difficile, ma i calcoli sono lunghetti e forse li ho sbagliati: ottengo risultati mostruosi. Di solito i dati iniziali sono scelti in modo che i risultati non siano troppo brutti,

[axpgn]

@giammaria
[ot]Mi era venuta voglia di scrivere un "qualcosa" sulla semplicità/complessità, ecc, ecc. ma (per fortuna ) mi sono presto reso conto che ne sarebbe uscito un pastrocchio assurdo
Però scrivo lo stesso il "finale" che avevo in mente: mi piace un sacco la calma, la tranquillità, l'ordine che metti in quello che scrivi [/ot]

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"giammaria":I dati sono stati scritti bene? Lo chiedo perché vengono numeri decisamente brutti.

Cosa intendi per "bene"? E cosa intendi per "numeri brutti"?
Vedi che esordisco parlando non di una sola piramide ma di un insieme di piramidi.
Posso allora dirti solo che i tre numerisono "consistenti", nel senso che vanno bene per le infinite e diverse piramidi a base quadrata dell'insieme da prendere in considerazione.

Ciao Giammaria!
Invece di andare subito in cerca dell'altezza HV – diciamola pure h – della piramide, ... domandati quanto potrebbe valere la lunghezza del quarto spigolo laterale DV
A me pare evidente che il primo pensiero che viene in mente appena terminata la lettura del testo sia questo: «Se si conoscessero tutti quattro gli spigoli laterali, si potrebbero costruire con essi diverse piramidi, ottenibili una dall'altra divaricando o restringendo gli spigoli laterali ... in modo che se una piramide è più bassa di un'altra, allora è anche più larga!»
Immagina di avere un quadrato disegnato su un tavolo orizzontale e quattro asticelle con un estremo comune e ognuno dei quattro altri loro estremi su un diverso vertice del quadrato. Puoi allora pensare di divaricare un po' le asticelle mettendole ai vertici di un quadrato un po' più garnde o, al contrario, di restringerle un po' mettendole ai vertici di un quadrato un po' più piccolo ...

_________

[giammaria2]

@ axpgn
Grazie mille per il magnifico complimento. Ed anche per aver taciuto sulla mancanza dello spoiler: l'ho proprio dimenticato.

@ Erasmus_First
Per "bene" intendo che forse al posto di 151 volevi scrivere 161 o simili. Per "numeri brutti" intendo cose del tipo $1726+sqrt 2370183$, precisando che ho inventato un numero a caso senza cercare nei miei risultati, che però erano di quel tipo.
Quanto al resto, ho fatto anch'io una visualizzazione come quella che suggerisci ed anch'io trovo infinite piramidi, al variare di $l$.
Invece non vedo bene come possa essere di aiuto la conoscenza di $DV=d$. Con le formule che ho scritto non è difficile dimostrare che, con H interno al quadrato, si ha $b^2+d^2=a^2+c^2$. Non ho controllato se questo vale anche con H esterno.

[Erasmus_First]

"giammaria": [...] Per "bene" intendo che forse al posto di 151 volevi scrivere 161 o simili.

No. Van bene 131, 179 e 151.
Ho visto che hai capito che, dato il rettangolo ABCD e un punto H dello stesso piano, succede sempre [anche quando H è esterno al rettangolo!)
AH^2 - BH^2 + CH^2 - DH^2 = 0.
Ma perché considerare H nello srtesso piano del rettangolo per questa considerazione=
La probrietà vale per punti qualunque dello sopazio, ossia proprio per gli spigoli laterali di una piramide a base rettangolare.
I tre numeri 131, 179 e 151 sono OK perché impongono che anche il quarto abbia una lunghezza "intera". [Infatti viene DV = 89. Non così se un numero fosse 161. Allora il quarto spigolo verrebbeirrazionale. (radice quadrata di un intero che non è non ha tutti i fattori primi con esponente pari).
Siccome tre spigoli laterali noti determinano univocamente il quarto spigolo latera\le (DV), conoscere questo non è necessario! ma il farne senza comporta una notevole complicazione delle formule! Invece il fare uso anche del quarto spigolo laterale rende le cose molto più chiare!
[spoiler]

"giammaria": Per "numeri brutti" intendo cose del tipo $1726+sqrt 2370183$[...].

Sei troppo esigente! Un problemino con dati "interi" ma con risposta la soluzione di una equazione di secondo grado ti dà proprio numeri del tipo "n + sqrtm$ (con n ed m interi).
Questo problemino sulle piramidi quadrate mi è parso interessante perché è possibile ricavare l'altezza della piramide (e quindi il volume) in funzione del solo lato della base.
La piramide è sempre "pendente", nel senso che la proiezione del vertice nel piano della base è esterna al quadrato tranne in un solo paerticolare caso (in cui sta ssul lato DA).

"giammaria":[...] vengono numeri decisamente brutti.

Beh: tra le piramidi con i dati del problema ce ne sono una barca con gli spigoli lutti di lunghezza "intera.
Per esempio, una piramide possibile è con
AB = BC = CD = DA = 100;
AV = 131; BV = 179; CV = 151; DV = 89.
Secondo i tuoi canoni estetici questa piramide ha proprio dei begli spigoli!
–––

[giammaria2]

Grazie mille e complimenti: io non avrei saputo neanche da dove cominciare per trovare numeri così belli. Peccato che la piramide di volume massimo non rientri nella barca di cui parli; comunque tu stesso avevi invitato, in caso di numeri "brutti", ad indicare solo il procedimento.

Con la stessa raccomandazione e con i dati forniti, rilancio: fra quali estremi (inferiore e superiore) può variare il lato $l$ del quadrato?
Confesso che nella mia risposta c'è un pezzetto che mi soddisfa poco.