Piramide

[axpgn]

Il vertice della piramide che è opposto alla base è detto "apice".

A) Chiamiamo una piramide "isoscele" se il suo apice si trova alla stessa distanza da tutti i vertici della base.
Con questa definizione, dimostrare che la base di una piramide isoscele è inscritta in un cerchio il cui centro coincide col piede dell'altezza della piramide.

B) Ora, chiamiamo una piramide "isoscele" se il suo apice si trova alla stessa distanza (perpendicolare) da tutti i lati della base.
Con questa definizione, (diversa dalla precedente) dimostrare che la base di una piramide isoscele è circoscritta da un cerchio il cui centro coincide col piede dell'altezza della piramide.


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Sia $V$ il vertice della piramide, $P$ la proiezione del vertice sulla base e $h=\bar(VP)$. Siano $V_1$, $V_2$, $...$ i vertici della base e $D_1$, $D_2$, $...$ la distanza da $V$ ai lati.

1) Essendo $bar(VV_1)=bar(VV_2)=...$ per ipotesi e $h$ in comune, è evidente che $VPV_1$, $VPV_2$, $...$ sono tutti triangoli congruenti da cui risulta che $\bar(PV_1)$, $\bar(PV_2)$, $...$ sono congruenti tra loro e quindi i vertici sono equidistanti da $P$ e quindi esiste una circonferenza che inscrive base

2) Allo stesso modo Essendo $bar(VD_1)=bar(VD_2)=...$ per ipotesi e $h$ in comune, è evidente che $VPD_1$, $VPD_2$, $...$ sono tutti triangoli congruenti da cui risulta che $\bar(PD_1)$, $\bar(PD_2)$, $...$ sono congruenti tra loro e quindi i lati sono equidistanti da $P$ e quindi esiste una circonferenza che circoscrive la base

[axpgn]

Purtroppo mi sono accorto di aver fatto un errore, un errore molto piccolo ma dalle grandi conseguenze (o invertito un "ad" con un "da") ovvero la tesi da dimostrare del secondo punto è che la base circoscrive il cerchio e non viceversa.
Sorry


@Folpo13
Puoi riscrivere la tua soluzione? Grazie.


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Per capirci... Il cerchio è "fuori" o "dentro" la base nel secondo caso?

Se il cerchio è dentro, e non ho fatto errori, dovrei averlo dimostrato correttamente

[axpgn]

Nel caso A, la base è dentro il cerchio.

Nel caso B, il cerchio è dentro la base.


Potresti riscrivere entrambe le dimostrazioni? Grazie e sorry, again


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Sia $ V $ il vertice della piramide, $ P $ la proiezione del vertice sulla base e $ h=\bar(VP) $. Siano $ V_1 $, $ V_2 $, $ ... $ i vertici della base e $ D_1 $, $ D_2 $, $ ... $ la distanza da $ V $ ai lati.

1) Essendo $ bar(VV_1)=bar(VV_2)=... $ per ipotesi e $ h $ in comune, è evidente che $ VPV_1 $, $ VPV_2 $, $ ... $ sono tutti triangoli congruenti da cui risulta che $ \bar(PV_1) $, $ \bar(PV_2) $, $ ... $ sono congruenti tra loro e quindi i vertici sono equidistanti da $ P $ e quindi esiste una circonferenza che inscrive base (il cerchio è fuori - tutti i vertici della base giacciono su questa circonferenza)

2) Allo stesso modo Essendo $ bar(VD_1)=bar(VD_2)=... $ per ipotesi e $ h $ in comune, è evidente che $ VPD_1 $, $ VPD_2 $, $ ... $ sono tutti triangoli congruenti da cui risulta che $ \bar(PD_1) $, $ \bar(PD_2) $, $ ... $ sono congruenti tra loro e quindi i lati sono equidistanti da $ P $ e quindi esiste una circonferenza che circoscrive la base (il cerchio è dentro - tutti i lati della base sono tangenti a questa circonferenza)

[axpgn]

Ok per il punto A

Ma per il punto B direi ...

... se $D_i$ è una distanza, cosa significa $\bar(VD_i)$ ?

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Errore mio... $D_i$ non è la distanza ma il piede della distanza tra $V$ e il lato $i$ della base

[axpgn]

Ma chi ti dice che i vari $\bar(PD_i)$ siano perpendicolari ai lati? Perché è un requisito necessario affinché il cerchio sia inscritto

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Spero vada bene:

Se $PP_0$ è la distanza tra $P$ ed $s$, allora $PP_O\bots$

$P$, $H$ e $P_0$ appartengono quindi ad un piano perpendicolare a $s$ in $P_0$, e ogni retta appartenente a questo piano passante per $P_0$, tra cui $HP_0$, è perpendicolare ad $s$

[axpgn]