Piccoli problemini

[LHC]

Salve a tutti,
sono nuovo del forum e sono in cerca di un piccolo favore...Mi occorrerebbero le soluzioni di questi 4 problemini che furono assegnati ad un concorso l' anno scorso per vedere se i miei risultati e ragionamenti sono esatti. Vi ringrazio anticipatamente e sappiate che ve ne sarò infinitamente grato!

Immagine problemi :

p.s mi farebbe piacere che le soluzioni mi fossero inviate anche per e-mail per una comodità personale. Nel caso potreste farlo basta che mi inviate un messaggio privato per avere l' email.

[axpgn]

Posta i tuoi tentavi e verifichiamo (come vorrebbe lo spirito del forum)
Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

Il secondo esercizio si può fare ricorrendo alla relazione tra media aritmetica e media geometrica.
Precisamente, se (a,b,c,d) sono 4 numeri positivi, allora vale la relazione :
\(a+b+c+d\geq 4 \sqrt[4]{abcd}\)
Nel tuo caso hai :
\(x^4+3 y^{\frac{4}{3}} =x^4+y^{\frac{4}{3}} +y^{\frac{4}{3}} +y^{\frac{4}{3}} \geq 4\sqrt[4]{x^4 \cdot y^{\frac{4}{3}}\cdot y^{\frac{4}{3}} \cdot y^{\frac{4}{3}} }=4xy\)
Come volevasi dimostrare...

[kobeilprofeta]

Qua ti do un accenno su come fare il 3 ma, come dice axpgn, devi portare almeno un tuo tentativo.

In un triangolo isoscele c'è una base (che chiamiamo $x$) e due lati uguali ($l$). L'altezza si ricava con pitagora (quindi in funzione solo di $x$ e $l$).
Io espliciterei perimetro e area in funzione di $x$ e $l$; per poi derivare la funzione area e vedere quando assume un massimo.