Piastrellare con i ganci

[axpgn]

Definiamo "gancio" una figura composta da sei quadrati unitari disposti come nell'immagine,



(una cosa così, casomai l'immagine scomparisse:
[size=150][tt]███
█ █
█[/tt][/size]
)

e anche ogni altra figura ottenuta da questa mediante rotazioni e ribaltamenti.

Determinare tutti i rettangoli $m xx n$ che possano essere ricoperti da "ganci".

Ovviamente i rettangoli devono essere interamente ricoperti, senza "buchi" né sovrapposizioni di ganci e neppure fuoriuscite di questi dal bordo del rettangolo.


Cordialmente, Alex

[Mathita]

Per ora ho trovato 2 famiglie di rettangoli. Detti b e h rispettivamente la base e l'altezza, mi risulta che i rettangoli sono ricopribili dai ganci se $b/h=4/3$, oppure se esistono $k\in \mathbb{N}\setminus {0} $ e $s,t\in\mathbb{N} $, con $s\cdot t\ne 0$, tali che $h=3t+4s$ e $b=12k.$ Chiaramente, se un rettangolo è ricopribile, anche il suo trasposto lo è.

Ci sono altre famiglie di rettangoli ricopribili? Ancora non lo so. (Ho implicitamente escluso la tassellazione del piano).

Quanto ho sottostimato il problema?

[axpgn]

Mi pare che sei stato un po' ristretto nel primo caso ma complessivamente bene

I rettangoli ricopribili sono quelli di dimensioni $3a xx 4b$ o $c xx 12d$ con $c!=1,2,5$ dove $a, b, c, d in ZZ^+$

Rimane però aperta la parte più difficile del problema ovvero dimostrare che non ce ne sono altri


Cordialmente, Alex

[axpgn]

"Mathita":Quanto ho sottostimato il problema?

È un problema delle IMO e nel commento c'è scritto che si è dimostrato il più difficile della sua sessione

[Mathita]

Noooo, ora che so che un problema delle IMO, mi verrà voglia di cercare la soluzione ufficiale! Dovrò sforzarmi di non fare ricerche.

[Mathita]

L'esercizio è più ostico del previsto per me. Non ho ancora sbirciato la soluzione ufficiale, anche se la curiosità è davvero tanta. Intervengo nuovamente per scrivere meglio le soluzioni che avevo trovato.

"Mathita":

Per ora ho trovato 2 famiglie di rettangoli. Detti b e h rispettivamente la base e l'altezza, mi risulta che i rettangoli sono ricopribili dai ganci se $b/h=4/3$[nota]Qui c'è una imprecisione. Il rapporto tra la base e l'altezza non deve essere 4/3. Piuttosto, devono esistere $s$ e $t$, naturali e non nulli, tali che $b=4s$ e $h=3t$[/nota] , oppure se esistono $k\in \mathbb{N}\setminus {0} $ e $s,t\in\mathbb{N} $, con $s\cdot t\ne 0$[nota]Qui ho sbagliato la condizione. Il mio intento era quello di dire che almeno uno tra $s$ e $t$ è diverso da zero. Shame on me, il prodotto è non nullo se entrambi i fattori sono non nulli. Tale condizione deve essere sostituita con $s+t\ne 0$ che nell'insieme dei numeri naturali equivale a dire che almeno uno tra s e t è non nullo.[/nota], tali che $h=3t+4s$ e $b=12k.$ Chiaramente, se un rettangolo è ricopribile, anche il suo trasposto lo è.

Ci sono altre famiglie di rettangoli ricopribili? Ancora non lo so. (Ho implicitamente escluso la tassellazione del piano).

Quanto ho sottostimato il problema?

Con le modifiche che ho apportato, la mia soluzione coincide con quella di axpgn. Chiaramente manca ancora la parte più interessante del problema.

[Edit] Scusate, pensavo che le note apparissero all'interno dello spoiler box. A quanto pare non è così!

[dan952]

Un' idea

Considerare il problema su $ZZ//3ZZ \times ZZ//4ZZ$ e $ZZ\times ZZ//12ZZ$

[axpgn]

Hint:

I ganci vanno a coppie