Partizioni

[axpgn]

Consideriamo l'intervallo $(0, 17)$, è chiaro che c'è un'infinità di modi per suddividerlo in $n$ parti $p_1, p_2, ..., p_n$ non vuote.

Ora, la somma $S_n(P) = sum_(k=1)^n sqrt((2k-1)^2+a_k^2)$ è una funzione della partizione $P=a_1, a_2, ..., a_n$ e assume infiniti valori diversi al variare di $P$ sulle tutte le partizioni possibili.

Sia $S_n$ il minimo valore di questa funzione $S_n= min S_n(P) = min sum_(k=1)^n sqrt((2k-1)^2+a_k^2)$

Abbastanza sorprendentemente, accade che esattamente solo uno dei valori $S_2, S_3, S_4, ..., S_n, ... $ è un intero.

Qual è?


Cordialmente, Alex

[Snipe]

Non mi è chiaro il problema, se ci sono infiniti modi di suddividere \(\displaystyle (0;17) \) allora siamo nei reali e allora \(\displaystyle S_n(P) \) il cui modulo dipende solo da \(\displaystyle a_k \) non ha minimo, aiutami a capire.

Inoltre \(\displaystyle a_i \) cosa sarebbe? Ad esempio suddivido in 2 intervalli \(\displaystyle (0;4)(4;17) \) ,\(\displaystyle a_1 \) in questo caso è l'elemento separatore dunque \(\displaystyle 4 \)? Inoltre l'intervallo \(\displaystyle (0)(0;17) \) è da considerarsi vuoto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao! Secondo la mia interpretazione gli $a_i$ sono numeri reali positivi la cui somma è $17$.

Mi sono messo a pensarci e ho trovato questo:

La radice quadrata $sqrt((2k-1)^2+a_k^2)$ si può vedere come la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo di cateti $2k-1$ e $a_k$. Quindi abbiamo una somma di $n$ ipotenuse. Al momento non riesco a riportare qui un disegno, ma immaginiamo un percorso nel piano cartesiano che va da $(0,0)$ a $(n^2,17)$ che è una spezzata (funzione lineare a tratti) i cui pezzi sono queste ipotenuse. I cateti orizzontali (o meglio le loro lunghezze) sono i numeri dispari $2k-1$ dove $k=1,...,n$, i cateti verticali sono gli $a_i$, cosicché il punto finale ha come coordinate appunto $sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ e $sum_{k=1}^n a_k = 17$. E' chiaro che la minima lunghezza di questa spezzata è data imponendo che tale spezzata sia un unico segmento che va da $(0,0)$ a $(n^2,17)$, cioè imponendo che tutte queste ipotenuse siano parallele, cioè $a_k=(2k-1)a_1$ per ogni $k$. Con questa scelta, la lunghezza della spezzata è semplicemente la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo rettangolo "grande" di cateti $n^2$ e $17$, e quindi tale lunghezza è $sqrt(n^4+17^2)$. Quindi vogliamo che $n^4+17^2$ sia un quadrato, diciamo $(n^2+b)^2$, dove $b$ è un intero positivo. Ma allora abbiamo $17^2 = 2n^2b+b^2=b(2n^2+b)$. Siccome $17$ è un numero primo, $b=1$ oppure $b=17$ oppure $b=17^2$. Ma è chiaro che $b=17$ e $b=17^2$ sono impossibili e quindi $b=1$, da cui $17^2 = 2n^2+1$ e cioè $n=12$. Il valore minimo corrispondente è $sqrt(12^4+17^2)=145$. Il valore degli $a_k$ che minimizzano la somma è $a_k=(2k-1)17/144$ per $k=1,...,12$.

[axpgn]

@Parsifal.
Non hai mai sentito parlare di "partizione di un intero in interi"? Per esempio, $5=1+1+3$ è una partizione del numero $5$ in $3$ parti, così come $5=1+2+2$ o $5=2+1+2$.
Analogamente gli $a_k$ sono le "lunghezze" delle parti che sommate danno $17$.
La differenza con il caso intero è che qui "lavoriamo" con i reali quindi le partizioni in $n$ parti sono infinite.


@Martino
Grande Martino!

Esiste una sola terna pitagorica avente $17$ come cateto ed è abbastanza conosciuta ma ovviamente si può trovare anche in altri modi, come hai ben fatto tu.
Oppure così: dato che $d=17$ è dispari si dimostra facilmente che $(d, 1/2(d^2-1), 1/2(d^2+1))$ è una terna pitagorica e quindi $(17, 144, 145)$

Cordialmente, Alex

[Snipe]

non lo avevo capito, chiedo scusa