$(p+1)/2, (p^2+1)/2$ quadrati perfetti

[Gi81]

Dimostrare che l'unico numero primo $p$ tale che $(p+1)/2$ e $(p^2+1)/2$ sono entrambi quadrati perfetti è $p=7$.

[Pachisi]

Ho qualcosa, ma non sono sicuro al 100%

Ponendo $(p+1)/2=x^2$ e $(p^2+1)/2=y^2$, troviamo $p=2x^2-1$ e $p^2=2y^2-1$. Allora, $(2x^2-1)^2=2y^2-1$. Quindi, $2x^2(x^2-1)=y^2-1$. Ossia, $2x(x-1)x(x+1)=y^2-1$, Ma il prodotto di ogni quattro interi consecutivi è uno meno di un quadrato perfetto. Allora deve essere $2x=x-2$ o $2x=x+2$. Quindi, $x^2=4$ e $y^2=25$. Quindi, $p=7$.

[Sk_Anonymous]

Da $p^2+1=2y^2$ e $p+1=2x^2$ si ha che $(y-x)(y+x)=p((p-1)/2)$ da cui si ricava che $p$ è divisore di $y+x$ (non di $y-x$ ché contraddirebbe l’eguaglianza).
Pertanto si ha che $y+x>=p$ e $y-x <= (p-1)/2$, che implica la seguente relazione: $3x>=y$.
E da quest'ultima si ottiene la $10>=p+ \frac 2 {p+1}$ da cui si ottengono i valori di $p$ papabili soluzioni delle equazioni date.

[Erasmus_First]

@ Pachisi

Te l'ho detto un'altra volta: SEI FORTE!

"Pachisi":Ho qualcosa, ma non sono sicuro al 100%

Il tuo "qualcosa" è tutto!
Avevo messo n (intero) al posto del tuo x ed m (intero) al posto del tuo y e avevo meditato a lungo sull'uguaglianza
$2n^2(n^2-1) +1 = m^2$
senza venir a capo di niente!
[Ho anche provato a crescere n di un'unità alla volta (partendo da n=2) per sperimentare se davvero non si riusciva a trovare altri quadrati perfetti oltre a 25 (per n = 2).
Quel che mi mancava (cioè: che non conoscevo affatto!) era che il prodotto di quattro interi consecutivi aumentato di un'unità è un quadrato perfetto. (*)
Come diceva Vecioric, non si finisce mai di imparare (ed io vado per gli 80 ...)
–––––––––––
(*) Verifica.
$[n(n+1)(n+2)(n+3)] + 1 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1$.
Trattandosi di polinomio simmetrico di 4° grado.esso deve essere del tipo:
$(n^2 + αn + 1)(n^2 + βn +1) = n^4 + (α+β)n^3 + (αβ+2)n^2 + (α+β)n + 1$.
Ne nostro caso deve allora essere $α+β = 6$ e $αβ+2 = 11$, da cui $α=β = 3$ e infine
$[n·(n+1)(n+2)(m+3)] + 1 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = (n^2 + 3n +1)^2$.
________

[Leonardo9P]

Non mi è chiaro il passaggio che fai quando dici "Quindi,". Che trucco hai usato?

[Sk_Anonymous]

Il trucco dopo il "quindi" è la divisione per 2.
Direi che indubbi di Pachisi sono giustificati: vedo un punto non corretto e un altro (collegato al primo ), per lo meno, da chiarire

[Pachisi]

@Erasmus_First: Grazie per il complimento

"sprmnt21": vedo un punto non corretto e un altro (collegato al primo ), per lo meno, da chiarire

Quali sono?

[Sk_Anonymous]

Scrivo dal telefono quindi sarà... Un pò così...
Il punto è che dal fatto vero che il prodotto di 4 interi consecutivi +1 sia un quadrato, nonsegue, ingenerare, il viceversa.
Se questo risultasse vero nel casospecifico indiscusssione deve essere provato con argomenti specifici, appunto.
L'osservazione accessoria è questa: se anche fosse vero che il quadrato di unnumro diminuito di 1, fosse esprimerle come prodotto di 4 interi consecutivi, andrebbe provato che siano solo i 4 numeri x-1, x, x+1, x+2.

[Pachisi]

Hai ragione. Non ci avevo pensato.

[Erasmus_First]

"Pachisi":Hai ragione. Non ci avevo pensato.

Secondo me, quel che ha detto Pachisi ... è completo.
[avevo detto che il "qualcosa" era TUTTO! ]
Io ho manipolato il polinomio
$P(n) = 2n^4 – 2n^2 + 1$
come segue
$P(n)= (2n)/(n+2)≤{[(n-1)n(n+1)(n+2) + 1]-1}+1$.
Dentro a questa espressione, (n-1)n(n+1)(n+2) + 1 è il quadrato dll'intero $n^2+n - 1$. Diciamolo $k^2$.
Con questa sostituzione abbiamo:
$(2n)/(n+2)k^2 – (2n)/(n+2) + 1 = (2n)/(n+2)k^2 – (n-2)/(n+2) = k^2 + (n-2)/(n+2)(k^2 -1) =$
$= (n^2 + n - 1)^2 + (n^2-n-1)^2 - 1$.
Qui mi pare chiaro che per n maggiore di 2 l'espressione non può essere il quadrato di un intero.
Mi piacerebbe leggere un parere di Rigel o di Orsoulx.
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[dan952]

Non è vero in generale che posso scrivere numeri della forma $a^2-1$ come prodotto di quattro numeri consecutivi (contro-es. $7^2-1$),inoltre la soluzione,a differenza di quella di sprmnt21 non fa uso del fatto che $p$ sia un primo, ipotesi cruciale.

[Sk_Anonymous]

"dan95":...noltre la soluzione,a differenza di quella di sprmnt21 non fa uso del fatto che $p$ sia un primo, ipotesi cruciale.

avevo notato questa "mancanza", ma prima di farla notare volevo trovare un controesempio.
Tu hai trovato un numero maggiore di 7 (dispari non primo evidentemente) che soddisfi alle condizioni date?

[Erasmus_First]

"dan95":Non è vero in generale che posso scrivere numeri della forma $a^2-1$ come prodotto di quattro numeri consecutivi (contro-es. $7^2-1$).

OK. Ma perché lo dici qui?
Nessuno ha detto che solo il prodotto di quattro interi consecutivi fa un quadrato perfetto diminuito di un'unità.
In questo caso, in cui $4n^4 - 4n^2 +1$ deve essere il quadrato di un intero, se è n = 2 ci siamo (perché allora 2n = n+2), se no non ci siamo non perché quell'espressione non è più il prodotto di quattro interi consecutivci aumentato di 1, ma perché risulta la somma di due quadrati particolari diminuita di 1 (che resta un quadrato solo se il quadrato più piccolo è proprio 1, ossia se è n = 2).
Infatti $2n^4 - 2n^2 + 1 = (n^2 - n - 1)^2 + (n^2 + n - 1)^2 - 1$
Se si pone $n^2 + n - 1$ = 2h-1$ e $n^2 . n - 1$ = 2k-1$ (con h e k interi positivi) si trova $h = ((n-1)n)/2$ e $k = (n(n+1))/2$.
Occorre dunque che $(2h-1)^2 + (2k-1)^2 - 1$ sia un quadrato perfetto con h e k numeri triangolari consecutivi. E questo succede solo per h = 1 e k = 3 (cioè per n = 2).
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[Gi81]

La dimostrazione di sprmnt21 mi sembra corretta. Io avevo fatto così:

$EE x,y in NN: \ {(p+1= 2 x^2),(p^2+1=2y^2):}$
Si dimostra facilmente che $p>y>x>1$, da cui $p> y-x$ e $2p> y+x$.
Facendo la differenza delle due equazioni si ottiene $p^2 -p = 2(y-x)(y+x)$.
Pertanto $p|(y-x)(y+x)$. Per quanto detto prima si ottiene $p=x+y$.

Sostituendo nelle due equazioni si ottiene ${(x+y+1=2x^2),((x+y)^2+1=2y^2):}=> {(y=2x^2-x-1),( (2x^2-1)^2+1 = 2(2x^2-x-1)^2 ):}$
L'ultima equazione diventa $2x^4 -4x^3-x^2+2x=0$, cioè $x(x-2)(2x^2-1)=0$.
L'unica soluzione intera positiva è $x=2$, da cui $y=5$ e $p=7$.