Numero lievemente abbondante
[size=150]Risolto, è tutto nei commenti[/size]
Sera, volevo proporvi questo problema che mi sono autocreato, riguardante il teorico numero "lievemente abbondante", e spero possiate aiutarmi
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\(\displaystyle [d,b_0,b_1,b_2,b_n] \) $in$ $NN$
Un numero è lievemente abbondante, quando la somma dei suoi divisori è \(\displaystyle 2d+1 \), che è chiaramente un numero dispari.
Creo l'equazione che descrive tali numeri:
\(\displaystyle 1+(2b_0+1)+(2b_1+1)+(2b_2+1)+…….+(2b_n+1)=2d+1 \)
dove \(\displaystyle (2b_0+1),(2b_1+1),(2b_2+1),……,(2b_n+1) \) sono i divisori di \(\displaystyle 2d+1 \) (ho dovuto porli in quella forma, poiché i suoi divisori devono per forza essere dispari, perché se non lo fossero, comparirebbe anche \(\displaystyle 2 \) tra i divisori, rendendo \(\displaystyle 2d+1 \) pari; Oltre a questo, i divisori devono essere in quantità pari, poiché se fossero dispari, \(\displaystyle 2d+1 \) sarebbe pari)
Ah, prima di continuare, metto qui un numero perfetto, che potrebbe servirvi a farvi capire prima nei momenti "difficili": \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=56 \) (il numero perfetto è \(\displaystyle 28 \), e infatti \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=2d=2(28) \) notare che l'ultimo divisore è esattamente \(\displaystyle d \))
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Pongo ora le condizioni: se \(\displaystyle 2d+1 \) è uguale alla somma dei suoi divisori, e l'ultimo dei suoi divisori è \(\displaystyle (2b_n+1) \) (Come ho già mostrato con il numero \(\displaystyle 28 \), esso stesso è l'ultimo divisore, quindi riguardo \(\displaystyle 2d+1 \), il suo ultimo divisore è \(\displaystyle (2b_n+1) \)) Allora \(\displaystyle 2d+1=2(2b_n+1) \) (nel caso 28, \(\displaystyle 56=2(28) \))
Andando a sviluppare, otteniamo: \(\displaystyle d=(4b_n+1)/2 \)
Ora vi voglio.
Di premessa, ho detto che \(\displaystyle d ∈ N \), ma come potete ben notare, \(\displaystyle (4b_n+1) \) è un numero dispari....e fratto \(\displaystyle 2 \) non dà un numero intero. Quindi non esiste alcun numero \(\displaystyle (4b_n+1) \) affinchè esso sia la metà di \(\displaystyle 2d+1 \); E già da qui sarei portato a dire che i numeri lievemente abbondanti non esistano; Vi pongo comunque le altre condizioni affinche \(\displaystyle 2d+1 \) sia un numero lievemente abbondante:
\(\displaystyle b_n=b_0b_{n-1}+b_0+b_{n-1} \)
Questa sopra perché un numero è sempre il prodotto del suo divisore minore con il divisore maggiore: facendo i calcoli, esce la formula qui sopra (Esempi: (\(\displaystyle 28= \)$2*14$), che sono infatti rispettivamente il più piccolo e il più grande divisore);
L'ultima condizione, che non mi và di scrivere, sarebbe che \(\displaystyle (2d+1)/(2b_0+1), (2d+1)/(2b_1+1) \), etcetera, dia sempre un risultato intero, indice del fatto che quelli tra parentesi sono suoi divisori.
Cosa ne pensate? Sta tutto nel penultimo paragrafo, in cui sembra che abbia "dimostrato" che un numero lievemente abbondante non possa esistere: se c'è qualcuno di così gentile, da spiegarmi dove ho sbagliato
Sera, volevo proporvi questo problema che mi sono autocreato, riguardante il teorico numero "lievemente abbondante", e spero possiate aiutarmi
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\(\displaystyle [d,b_0,b_1,b_2,b_n] \) $in$ $NN$
Un numero è lievemente abbondante, quando la somma dei suoi divisori è \(\displaystyle 2d+1 \), che è chiaramente un numero dispari.
Creo l'equazione che descrive tali numeri:
\(\displaystyle 1+(2b_0+1)+(2b_1+1)+(2b_2+1)+…….+(2b_n+1)=2d+1 \)
dove \(\displaystyle (2b_0+1),(2b_1+1),(2b_2+1),……,(2b_n+1) \) sono i divisori di \(\displaystyle 2d+1 \) (ho dovuto porli in quella forma, poiché i suoi divisori devono per forza essere dispari, perché se non lo fossero, comparirebbe anche \(\displaystyle 2 \) tra i divisori, rendendo \(\displaystyle 2d+1 \) pari; Oltre a questo, i divisori devono essere in quantità pari, poiché se fossero dispari, \(\displaystyle 2d+1 \) sarebbe pari)
Ah, prima di continuare, metto qui un numero perfetto, che potrebbe servirvi a farvi capire prima nei momenti "difficili": \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=56 \) (il numero perfetto è \(\displaystyle 28 \), e infatti \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=2d=2(28) \) notare che l'ultimo divisore è esattamente \(\displaystyle d \))
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Pongo ora le condizioni: se \(\displaystyle 2d+1 \) è uguale alla somma dei suoi divisori, e l'ultimo dei suoi divisori è \(\displaystyle (2b_n+1) \) (Come ho già mostrato con il numero \(\displaystyle 28 \), esso stesso è l'ultimo divisore, quindi riguardo \(\displaystyle 2d+1 \), il suo ultimo divisore è \(\displaystyle (2b_n+1) \)) Allora \(\displaystyle 2d+1=2(2b_n+1) \) (nel caso 28, \(\displaystyle 56=2(28) \))
Andando a sviluppare, otteniamo: \(\displaystyle d=(4b_n+1)/2 \)
Ora vi voglio.
Di premessa, ho detto che \(\displaystyle d ∈ N \), ma come potete ben notare, \(\displaystyle (4b_n+1) \) è un numero dispari....e fratto \(\displaystyle 2 \) non dà un numero intero. Quindi non esiste alcun numero \(\displaystyle (4b_n+1) \) affinchè esso sia la metà di \(\displaystyle 2d+1 \); E già da qui sarei portato a dire che i numeri lievemente abbondanti non esistano; Vi pongo comunque le altre condizioni affinche \(\displaystyle 2d+1 \) sia un numero lievemente abbondante:
\(\displaystyle b_n=b_0b_{n-1}+b_0+b_{n-1} \)
Questa sopra perché un numero è sempre il prodotto del suo divisore minore con il divisore maggiore: facendo i calcoli, esce la formula qui sopra (Esempi: (\(\displaystyle 28= \)$2*14$), che sono infatti rispettivamente il più piccolo e il più grande divisore);
L'ultima condizione, che non mi và di scrivere, sarebbe che \(\displaystyle (2d+1)/(2b_0+1), (2d+1)/(2b_1+1) \), etcetera, dia sempre un risultato intero, indice del fatto che quelli tra parentesi sono suoi divisori.
Cosa ne pensate? Sta tutto nel penultimo paragrafo, in cui sembra che abbia "dimostrato" che un numero lievemente abbondante non possa esistere: se c'è qualcuno di così gentile, da spiegarmi dove ho sbagliato
Risposte
Ciao Andrea , non entro nello specifico della tua equazione in quanto è meglio che aspetti pareri più autorevoli ;
tuttavia se è quello che penso io ... purtroppo non si può fare
in pratica vorresti dimostrare con l'assurdità del passaggio successivo , dividere per 2 , che non esistono
numeri perfetti dispari , vero ?
Hai pensato cosi per osmosi con i numeri perfetti pari ...
riflettendo sul doppio di un intero pari lievemente abbondante che diviso per 2 da un numero perfetto ...
mentre con i dispari se lo facessi (dividere per 2 ) avresti un numero reale : quindi nisba perfetto dispari...
ti dico di no perchè se fosse cosi facile lo avrebbero già dimostrato :
i matematici sono intelligenti (te lo dice una che non fa metematica ) ...
però continua e non demordere
...bravo
tuttavia se è quello che penso io ... purtroppo non si può fare
in pratica vorresti dimostrare con l'assurdità del passaggio successivo , dividere per 2 , che non esistono
numeri perfetti dispari , vero ?
Hai pensato cosi per osmosi con i numeri perfetti pari ...
riflettendo sul doppio di un intero pari lievemente abbondante che diviso per 2 da un numero perfetto ...
mentre con i dispari se lo facessi (dividere per 2 ) avresti un numero reale : quindi nisba perfetto dispari...
ti dico di no perchè se fosse cosi facile lo avrebbero già dimostrato :
i matematici sono intelligenti (te lo dice una che non fa metematica ) ...
però continua e non demordere
...bravo
"Andrea57":
ho dovuto porli in quella forma, poiché i suoi divisori devono per forza essere dispari, perché se non lo fossero, comparirebbe anche \(\displaystyle 2 \) tra i divisori, rendendo \(\displaystyle 2d+1 \) pari; Oltre a questo, i divisori devono essere in quantità pari, poiché se fossero dispari, \(\displaystyle 2d+1 \) sarebbe pari)
Non seguo bene queste due affermazioni: specifico che non vuol dire che siano sbagliate, vuol dire solo che ci devo pensare, magari a pancia piena ci arrivo meglio
.A parte gli scherzi, il ragionamento è molto contorto e - personalmente - devo pensarci meglio: ovviamente so di non essere un drago in tdn (anzi!) quindi se c'è qualcuno che mi anticipa e chiarisce, meglio così.
"Stellinelm":
però continua e non demordere
Mi associo!
EDIT (16:51)
Nel giro di qualche ora hanno risposto in 3000... non ho nulla da aggiungere se non un saluto
"Zero87":
[quote="Andrea57"]ho dovuto porli in quella forma, poiché i suoi divisori devono per forza essere dispari, perché se non lo fossero, comparirebbe anche \(\displaystyle 2 \) tra i divisori, rendendo \(\displaystyle 2d+1 \) pari; Oltre a questo, i divisori devono essere in quantità pari, poiché se fossero dispari, \(\displaystyle 2d+1 \) sarebbe pari)
Non seguo bene queste due affermazioni: specifico che non vuol dire che siano sbagliate, vuol dire solo che ci devo pensare, magari a pancia piena ci arrivo meglio
.[/quote]Tranquillo, ti faccio esempi numerici così ti spiego velocemente i due punti...parto dal primo:
Come abbiamo già detto, \(\displaystyle 2d+1 \) è necessariamente dispari, poiché \(\displaystyle d ∈ N \): questo significa, che non può comparire \(\displaystyle 2 \) tra i suoi divisori, altrimenti sarebbe un numero pari: per ovviare a ciò, ho posto che i suoi divisori siano del tipo \(\displaystyle 2b+1 \), con \(\displaystyle b ∈ N \); In questo modo tra i divisori non comparirà mai \(\displaystyle 2 \) o un suo multiplo.
Secondo punto(e qui ti faccio esempi numerici):
"I divisori devono essere in quantità pari"
Benissimo, immaginiamo che i divisori siano in quantità dispari....avremo un qualcosa tipo(è solo un esempio, \(\displaystyle 26 \) non è realmente un multiplo dei numeri che scrivo):
\(\displaystyle 1+(3)+(9)+(13)=26 \) come hai notato, i "divisori" sono in quantità dispari....e danno un risultato pari, che è contro le nostre condizioni; Aggiungiamo un nuovo termine, per rendere i "divisori" pari:
\(\displaystyle 1+(3)+(9)+(13)+(7)=33 \) il risultato è dispari. Ecco perché ho posto che i divisori debbano essere in quantità pari
Spero di aver chiarito.
Anche io non avevo capito quelle affermazioni, ora sono un po' più chiare. C'è però un'altra cosa che non mi è chiara:
Ecco, hai scritto i divisori di quale quadrato perfetto? $28$? Ti ricordo che un quadrato perfetto è un numero intero la cui radice quadrata principale è intera... Se i divisori di un certo numero sono $1, 2, 4, 7, 14, 28$, quest'ultimo non può essere un quadrato perfetto, perché appare il divisore primo $7$ e non il suo quadrato $49$...
Altra affermazione non chiara:
Il numero iniziale è $d$, se la somma dei suoi divisori è $2d+1$ si dice che $d$ è lievemente abbondante. Come l'hai voluto scrivere tu l'ultimo divisore è $2b_n+1$. Poi fai quest'affermazione basata su niente:
$2d+1=2(2b_n+1)$
Questa relazione è chiaramente falsa... Se io prendo un vero quadrato perfetto, tipo $2025 = 45^2$ e calcolo la somma dei suoi divisori:
$1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 25 + 27 + 45 + 75 + 81 + 135 + 225 + 405 + 675 = 1726$
Tu con quell'affermazione stai affermando che il doppio dell'ultimo divisore di $2025$, che è $675$, è uguale a $1726$? Da quando $675*2 = 1726$?
Sarò in attesa di chiarimenti (magari mi sto sbagliando io, non sono perfetto )
"Andrea57":
Ah, prima di continuare, metto qui un quadrato perfetto, che potrebbe servirvi a farvi capire prima nei momenti "difficili": \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=56 \) (il numero perfetto è \(\displaystyle 28 \), e infatti \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=2d=2(28) \) notare che l'ultimo divisore è esattamente \(\displaystyle d \))
Ecco, hai scritto i divisori di quale quadrato perfetto? $28$? Ti ricordo che un quadrato perfetto è un numero intero la cui radice quadrata principale è intera... Se i divisori di un certo numero sono $1, 2, 4, 7, 14, 28$, quest'ultimo non può essere un quadrato perfetto, perché appare il divisore primo $7$ e non il suo quadrato $49$...
Altra affermazione non chiara:
"Andrea57":
Pongo ora le condizioni: se $2d+1$ è uguale alla somma dei suoi divisori, e l'ultimo dei suoi divisori è $2b_n+1$ (Come ho già mostrato con il numero $28$, esso stesso è l'ultimo divisore, quindi riguardo $2d+1$, il suo ultimo divisore è $2b_n+1$) Allora $2d+1=2(2bn+1)$ (nel caso $28$, $56=2(28)$)
Il numero iniziale è $d$, se la somma dei suoi divisori è $2d+1$ si dice che $d$ è lievemente abbondante. Come l'hai voluto scrivere tu l'ultimo divisore è $2b_n+1$. Poi fai quest'affermazione basata su niente:
$2d+1=2(2b_n+1)$
Questa relazione è chiaramente falsa... Se io prendo un vero quadrato perfetto, tipo $2025 = 45^2$ e calcolo la somma dei suoi divisori:
$1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 25 + 27 + 45 + 75 + 81 + 135 + 225 + 405 + 675 = 1726$
Tu con quell'affermazione stai affermando che il doppio dell'ultimo divisore di $2025$, che è $675$, è uguale a $1726$? Da quando $675*2 = 1726$?
Sarò in attesa di chiarimenti (magari mi sto sbagliando io, non sono perfetto
)
"Pianoth":
Anche io non avevo capito quelle affermazioni, ora sono un po' più chiare. C'è però un'altra cosa che non mi è chiara:
[quote="Andrea57"]Ah, prima di continuare, metto qui un quadrato perfetto, che potrebbe servirvi a farvi capire prima nei momenti "difficili": \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=56 \) (il numero perfetto è \(\displaystyle 28 \), e infatti \(\displaystyle 1+2+4+7+14+28=2d=2(28) \) notare che l'ultimo divisore è esattamente \(\displaystyle d \))
Ecco, hai scritto i divisori di quale quadrato perfetto? $28$? Ti ricordo che un quadrato perfetto è un numero intero la cui radice quadrata principale è intera... Se i divisori di un certo numero sono $1, 2, 4, 7, 14, 28$, quest'ultimo non può essere un quadrato perfetto, perché appare il divisore primo $7$ e non il suo quadrato $49$...
Altra affermazione non chiara:
"Andrea57":
Pongo ora le condizioni: se $2d+1$ è uguale alla somma dei suoi divisori, e l'ultimo dei suoi divisori è $2b_n+1$ (Come ho già mostrato con il numero $28$, esso stesso è l'ultimo divisore, quindi riguardo $2d+1$, il suo ultimo divisore è $2b_n+1$) Allora $2d+1=2(2bn+1)$ (nel caso $28$, $56=2(28)$)
Il numero iniziale è $d$, se la somma dei suoi divisori è $2d+1$ si dice che $d$ è lievemente abbondante. Come l'hai voluto scrivere tu l'ultimo divisore è $2b_n+1$. Poi fai quest'affermazione basata su niente:
$2d+1=2(2b_n+1)$
Questa relazione è chiaramente falsa... Se io prendo un vero quadrato perfetto, tipo $2025 = 45^2$ e calcolo la somma dei suoi divisori:
$1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 25 + 27 + 45 + 75 + 81 + 135 + 225 + 405 + 675 = 1726$
Tu con quell'affermazione stai affermando che il doppio dell'ultimo divisore di $2025$, che è $675$, è uguale a $1726$? Da quando $675*2 = 1726$?
Sarò in attesa di chiarimenti (magari mi sto sbagliando io, non sono perfetto
)[/quote]Si perdonami, sono stato molto sbadato a non accorgermene
intendevo "numero perfetto" e non quadrato perfetto...spero che adesso ti torni tutto riguardo la prima parte della tua richiesta.Riguardo la seconda, stessa cosa: intendevo un numero perfetto, non quadrato perfetto.
P.S. Sto ricontrollando il testo che vi ho proposto per altri eventuali errori di scrittura
Sì ma resta comunque un problema: chi ti ha detto che un numero lievemente abbondante deve essere un numero perfetto? Anzi, non ha alcun senso! Non può essere un numero perfetto, un numero perfetto è un numero $d$ dove la somma dei suoi divisori è lo stesso $d$... Quindi un numero perfetto non può essere un numero lievemente abbondante! È stato invece affermato che deve essere un quadrato perfetto, formato da almeno sette fattori primi distinti che deve essere maggiore di $100000000000000000000000000000000000$... (letto sulla wiki, poi non so se effettivamente vero)
"Pianoth":
Sì ma resta comunque un problema: chi ti ha detto che un numero lievemente abbondante deve essere un numero perfetto? Anzi, non ha alcun senso! Non può essere un numero perfetto, un numero perfetto è un numero $d$ dove la somma dei suoi divisori è lo stesso $d$... Quindi un numero perfetto non può essere un numero lievemente abbondante! È stato invece affermato che deve essere un quadrato perfetto, formato da almeno sette fattori primi distinti che deve essere maggiore di $100000000000000000000000000000000000$... (letto sulla wiki, poi non so se effettivamente vero)
anche io avevo letto quelle cose sulla wiki, e sai che ti dico? Che hai ragione
Ho semplicemente dimostrato che un numero lievemente abbondante non può essere un numero perfetto dispari
Comunque mi fido di quelle cose sulla wiki, e qualcuno ne verrà a capo
Non demordere Andrea57
Ehh, non è così semplice, ma anche sapendo che molto probabilmente non ne verrò a capo, il divertente sta proprio nei tentativi, e nel rimanere deluso nei piccoli fallimenti...mi sto creando ogni tipo di equazione che descriva questi numeri, ed è davvero rilassante.
Vedi qua dove si parla di numeri perfetti di seconda specie, potrebbe stuzzicare la tua fantasia : [url]https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:mLFAjHOhk54J:www.matematicamente.it/staticfiles/approfondimenti/approfondimenti/CuriositaMatematiche.pdf+numeri+perfetti+prova+del+nove&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEEShtBN8uIrwewyCm9UxnIWXdSHPnMas-DYREkKIFlQuxUjCjnYEwpNkI70agWTq466swMgdOtcslHrmc3l6i5O1F9eT9vWuPOovHBLeUCeVkyzMmib4kgDWUqQ7dzZGFEtDnr3k5&sig=AHIEtbTD8vzFwvgvrVJEgbIqbaG2T9R7Dw[/url]
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