Numero irrazionale

[Vienrose]

Salve, ho risolto questo problema, ma forse dimentico qualcosa?

Dimostrare che per ogni intero \(\ n \geq 1 \) il numero reale:
\(\ \sqrt(4n −1) \) è irrazionale.

Io ho ragionato così:
Supponiamo che \(\ \sqrt(4n −1) \) sia razionale, allora deve essere:
\(\ 4n-1=m^2 \)
Perciò: \(\ 4n=m^2+1 \)
Allora \(\ m^2+1 \) deve essere pari, quindi \(\ m^2 \) è dispari.
Supposto \(\ m= 2k+1 \rightarrow m^2= 4k^2+4k+1≡ 1(mod4) \)

Quindi è: \(\ m^2+1≡2(mod4) \)

Ma, affinchè \(\ 4n-1=m^2 \) sia vera, dovrebbe essere:
\(\ m^2+1≡0(mod4) \)

Quindi \(\ \sqrt(4n −1) \) non può essere razionale.

[Zero87]

Non trovo errori, al massimo avrei agito in modi alternativi ma con un punto di partenza comune (e con deduzioni molto simili). Da qui

"Vienrose":Quindi è: \( \ m^2+1≡2(mod4) \)

Avrei detto che anche $4n-1 \equiv 2 (mod 4)$ che però è palesemente errata perché si sottrae 1 a un multiplo di 4 (quindi è congruo a 3 modulo 4).

Oppure, da un passo precedente, avrei dedotto che $m^2 \equiv 3 (mod 4)$ che è errata perché $3$ non è un residuo quadratico modulo 4 (se non ricordo male, ovvio).

[hyoukarou]

"Vienrose":
Dimostrare che per ogni intero \(\ n \geq 1 \) il numero reale: \(\ \sqrt(4n −1) \) è irrazionale.

Io ho ragionato così:
Supponiamo che \(\ \sqrt(4n −1) \) sia razionale, allora deve essere:
\(\ 4n-1=m^2 \)

Sbaglio o dovrebbe essere \(\displaystyle \exists s \in \mathbb{N} . \exists t \in \mathbb{N^*} . 4n - 1 = \frac{s^2}{t^2}\)? Volendo con i due interi coprimi.

[j18eos]

In effetti hai solo dimostrato che quel numero non è intero...

[Zero87]

"j18eos":In effetti hai solo dimostrato che quel numero non è intero...

$4n-1$ è intero - $n$ è intero positivo - e pensavo fosse scontato che il quadrato di una frazione - con denominatore diverso da 1 - non mi desse un numero intero.

[j18eos]

Hai ragione!