Numeri primi gemelli e radice numerica.

[Studente Anonimo]

Siano \(p,p+2 > 3 \) due numeri primi gemelli, e sia \(r\) la radice numerica, dimostrare che \(r(p(p+2))=8 \).

La radice numerica di un numero intero è il risultato della somma delle sue cifre iterato fino ad ottenere un numero con una cifra sola. Ad esempio \( r(456)=6 \) poiché \(4+5+6=15 \) e \(1+5=6 \).

[Studente Anonimo]

È un modo complicato di dire che [tex]p(p+2) \equiv 8[/tex] modulo [tex]9[/tex]

[Studente Anonimo]

Si esatto

[giammaria2]

Credo che Martino fosse un po' sovrappensiero, altrimenti si sarebbe reso conto che non è il caso di citare l'aritmetica modulare in una sezione dedicata alla scuola secondaria (in cui non la si nomina neanche).
Io direi più semplicemente che la radice numerica è il numero che alle elementari si usava per la prova del 9. E questo è anche un hint per la soluzione.

[axpgn]

"giammaria":Io direi più semplicemente che la radice numerica è il numero che alle elementari si usava per la prova del 9.

Non proprio perché la radice numerica vale anche per l'addizione mentre la prova del 9 te la insegnano per la moltiplicazione

Comunque...

$5 xx 7 = 35 -> 8$

I successivi primi gemelli hanno come finale le cifre $1-3, 7-9, 9-1$.
Nei primi due casi la radice numerica della parte restante deve essere $1,4,7$ affinché siano (eventualmente) primi mentre per il terzo caso la parte restante prima del $9$ finale deve essere $2,5,8$
Adesso basta fare qualche conto per verificare la correttezza della congettura
Per esempio $(1+1)(1+3)=8, (7+7)(7+9)=224 -> 8, (5+9)(6+1)=98 -> 8$

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Si volevo scrivere \(p>3 \) e non anche \(p+2 > 3 \) ma non volevo editare

Comunque basta notare che se \(p \) e \( p +2 \) sono primi allora necessariamente \(p+1 \) è un multiplo di \(3\) e dunque \(p=3n-1\) e \( p+2 = 3n+1 \) per qualche \(n \) da cui \( p(p+2)= 9n^2 - 1 \equiv 8 \mod 9 \)

[axpgn]

Ma come dice giammaria ...

... con le congruenze non vale

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Ehh... vabbe' non sono poi così complicate le congruenze modulari per un liceale, in fondo è tra le prime cose che si impara facendo la divisione con il resto alle elementari

[axpgn]

Ma lo sono per me

[dan952]

Se non vogliamo parlare di aritmetica modulare parliamo di resto della divisione che si fa alle elementari.

[giammaria2]

@ axpgn

"axpgn":la radice numerica vale anche per l'addizione mentre la prova del 9 te la insegnano per la moltiplicazione

A me avevano insegnato che vale anche per l'addizione, solo che non vale la pena di farla.

[Studente Anonimo]

Giammaria, hai una soluzione che non usa le congruenze? Sono curioso di vederla.

[axpgn]

@giammaria
Beh, sei l'unico o quasi, tant'è che quando postai (il passato remoto qui ci vuole ) un quesito basato proprio su questa proprietà, anche persone decisamente esperte non ne sapevano nulla e si meravigliavano che valesse anche per l'addizione.

[giammaria2]

@ Martino
La mia soluzione e sostanzialmente quella già mandata da axpgn; la ripeto con parole mie.

La radice numerica di $p$ può variare da 1 a 9; escludiamo che valga 3, 6, 9 perché allora $p$ sarebbe divisibile per 3. Escludiamo anche che valga 1, 4, 7 perché allora $p+2$ sarebbe divisibile per 3. Basta ora verificare che nei tre casi rimanenti si ottiene 8.
Ad esempio, se quella radice fosse 5, avremmo $5*7=35->3+5=8$

@ axpgn
Debbo aver avuto degli insegnanti di matematica decisamente favolosi; mi è già capitato in più di una occasione di strabiliare altri, pur avendo solo ripetuto quello che mi avevano insegnato a scuola.