Numeri Mirror

[Gi81]

Un numero $n in NN$ maggiore di $9$ è detto mirror se
chiamato $N$ il numero ottenuto "leggendo da destra a sinistra" $n$, si ha $\text{M.C.D.} (n,N)>1$

Ad esempio sono numeri mirror:
$n= 26$ (infatti $N=62$, e $\text{M.C.D.}(26,62)=2$), $n=50$ ($N=5$), $n=75$, $n=12$, $n=132$.
Non sono numeri mirror:
$n=25$, $n=92$, $n=14$, $n=160$ ($N=61$).

1) Dimostrare che esistono cinque numeri interi positivi consecutivi che sono tutti numeri mirror.
2) Trovare la più piccola sequenza di cinque numeri mirror consecutivi.

[axpgn]

Cinque numeri consecutivi mirror sono i seguenti $206, 207, 208, 209, 210$.
Non so se siano i più piccoli ma si verifica facilmente ...
Ho ragionato così ... cinque numeri consecutivi ne contengono due o tre divisibili per due quindi la nostra sequenza è più probabile che inizi con un numero pari che abbia la prima cifra pari; se uno dei due dispari è divisibile per undici ma non per tre allora c'è l'altro dispari (maggiore o minore) che è divisibile per tre. (e i loro "mirror" anche).
Perciò per ogni numero dispari divisibile per undici ma non per tre e che inizi con una cifra pari abbiamo sicuramente una sequenza di cinque numeri mirror consecutivi. Isn't it?

Cordialmente, Alex

[Gi81]

@axpgn:
Sì, il tuo ragionamento è corretto. Però è un po' troppo approssimativo. Andrebbe formalizzato meglio.
La cosa più importante che va giustificata è: perchè i multipli di $3$ sono mirror? perchè i multipli di $11$ sono mirror?
Una volta risposto a questo, si può riscrivere quello che hai detto in questo modo:

sia $n$ multiplo dispari di $11$ (dunque $n$ è mirror).
$=> n=11*(2k+1)= 22k+11$, con $k in NN$.
Scegliamo $k$ multiplo di $3$ (dunque $k=3h$), da cui $n=66h+11$,
Con questa scelta si ha $n-2=66h-9$, dunque $n-2$ è multiplo di $3$, quindi è mirror.

Scegliendo $h$ in modo opportuno, possiamo fare in modo che $203<=n<=203+65$
in questo modo la sequenza $n-3,n-2,n-1,n,n+1$ è formata da tutti numeri mirror
(in quanto $n-3,n-1$ ed $n+1$ sono pari con prima cifra pari).

@tutti: il secondo quesito è ancora senza risposta

[axpgn]

"Gi8":... Però è un po' troppo approssimativo. Andrebbe formalizzato meglio. ...

Non è che puoi pretendere troppo da me ...
Soprattutto se ho fame ...

"Gi8":La cosa più importante che va giustificata è: perchè i multipli di $3$ sono mirror? perchè i multipli di $11$ sono mirror?

Se per "maggior formalizzazione" intendi questo allora lo davo per scontato: un numero è divisibile per $3$ quando la somma delle sue cifre lo è quindi in qualsiasi modo lo rivolti sarà sempre divisibile per $3$; un numero è divisibile per $11$ se lo è la differenza tra la somma delle sue cifre di posto pari e la somma delle sue cifre di posto dispari. "Leggendolo" nell'altro senso non cambia niente (le pari restano pari e le dispari restano dispari oppure si scambiano).
Se prendiamo un numero $u$ dispari divisibile per $11$ ma non per $3$ (cioè con resto $1$ o $2$) allora esisterà un numero $t$ dispari divisibile per $3$ tale che sia $t=u+2 uu t=u-2$).
Se il nostro $u$ inizia per una cifra pari allora esisteranno tre numeri pari $(p_1=u+1, p_2=u-1, (p_3=u+3 vv p_3=u-3)$ tali che tutti insieme ($u, t, p_n$) rispondano ai requisiti.

Comunque hai già fatto tutto tu, quindi che rispondo a fare?

Cordialmente, Alex

EDIT: io non ne ho trovati di più piccoli ...

EDIT2:

avrei trovato (sempre il condizionale ) tredici sequenze inferiori a mille ... per esempio $252$, $404$ e l'ultimo $866$

EDIT3:

dato che quella regola non esaurisce tutte le possibilità, ci sono anche mirror che iniziano con una cifra dispari come per esempio le cinquine che iniziano per $5255$, $5432$ e $5957$

[Gi81]

Altre possibili domande:
3) esiste una sequenza di 6 numeri mirror consecutivi?
4) esiste una sequenza di 7 numeri mirror consecutivi?
5) fissato $m in NN$, esiste una sequenza di $m$ numeri mirror consecutivi?

[axpgn]

Fino a $m=11$ ne ho trovati ... quindi si potrebbe presumere che una regola generale per trovarli ci sia ... ma non credo di trovarla ...

Per esempio per trovare le sequenze da $6$ si può notare che un numero di due cifre se moltiplicato per $101$ da come prodotto un numero mirror perché il suo "riflesso" è anch'esso divisibile per $101$. Combinando questa proprietà con le sequenze da sequenze si trovano alcune da sei. E quelle da sette sono quelle da sei che iniziano con un numero pari (con la prima cifra pari).

Cordialmente, Alex

EDIT:

aggiungo solo che se si ha una sequenza di $m$ mirror in cui almeno uno degli estremi è dispari (ed inizia con una cifra pari) allora si può sempre costruire una sequenza di $m+1$ mirror aggiungendo dal "lato dispari" un numero pari.
Purtroppo questo non si può fare con le sequenze in cui $m$ è dispari ed ha gli estremi pari ...

[milizia96]

Sono abbastanza sicuro che la risposta alla domanda (5) sia affermativa per ogni $m$ naturale...
Qualcuno me lo conferma? (Adesso non ho tempo per scrivere la dimostrazione)

Edit: mi sono accorto di una falla nel mio ragionamento