Numeri felici

[Luca114]

Per chi non lo sapesse, un numero si dice felice se la somma dei quadrati delle sue cifre ripetuta più volte arriva a fare uno.
Ora, dimostrare in maniera più semplice possibile che tutti i numeri primi nella forma $10^n+3$ e $10^n+9$ sono felici.

Curiosità: ho letto che il numero felice più grande è stato scoperto nel 2005 da Richard Hassler ed è $4847 × 2^(3321063) + 1$.

[theras]

Vediamo se ho capito:
$13$ e $19$ sono felici perché $1^2+3^2=10,1^2+0^2=1$ e $1^2+9^2=82,8^2+2^2=68,6^2+8^2=100,1^2+0^2+0^2=1$?
No,perché se è così non è difficile dimostrare che,assegnato a piacere $n in NN setminus {1}$,
il numero(primo o meno che sia..)ottenuto piazzando $n-1$ cifre nulle tra $1$ e $3$(ma pure facendo la stessa cosa tra $1$ e $9$..)resta bello contento :
potenza dello $0$,che è neutro nell'addizione ed ha quadrato nullo..
Ciò detto mi pare affascinante notare una caratteristica quasi "umana" dei numeri naturali:
cuor contento ci nascono,altrimenti hai voglia di tentare all'infinito ma,al più, posson essere allegri,interessanti,profondi,intelligenti e,tranne che felici in pianta stabile,chi più ne ha più ne metta
(troppo spesso,è l'odiosa condizione umana,è così..)!
Altra analogia:
è più interessante capire se son infelici e perché ,e in questo senso si possono forse solo far congetture perché,magari,la verità è che ogni numero naturale infelice ha la sua personalissima ed intima ragione..
Saluti dal web.

[milizia96]

@Luca:
quello che hai citato di Richard Hassler non è il numero felice più grande di tutti: theras ha appena spiegato che tutti i numeri delle forme $10^n + 3$ e $10^n + 9$ lo sono. Si tratta invece del numero primo felice più grande finora scoperto.