Numeri cortesi e scortesi
Buongiorno a tuttx!
ho bisogno di un aiuto per una dimostrazione che pensavo fosse più semplice..
i numeri cortesi sono qui quei numeri naturali che possono scriversi come somma di due o più numeri consecutivi, ad esempio il 6=3+2+1 oppure il 10=1+2+3+4. Con l'utilizzo dei numeri figurati è facile dimostrare che tutti i numeri sono cortesi tranne le potenze di due...ora viene il problema
..intuisco il problema dipenda dall'assenza di fattori primi dispari, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero di aver postato nella sezione giusta..
grazie e a presto!
ho bisogno di un aiuto per una dimostrazione che pensavo fosse più semplice..
i numeri cortesi sono qui quei numeri naturali che possono scriversi come somma di due o più numeri consecutivi, ad esempio il 6=3+2+1 oppure il 10=1+2+3+4. Con l'utilizzo dei numeri figurati è facile dimostrare che tutti i numeri sono cortesi tranne le potenze di due...ora viene il problema
..intuisco il problema dipenda dall'assenza di fattori primi dispari, ma non riesco a dimostrarlo.Spero di aver postato nella sezione giusta..
grazie e a presto!
Risposte
Quindi nel tuo esempio anche $5+6=11$ è cortese? O solo quelli che si scrivono come somma di numeri che vanno da $1$ a un certo $n$?
Comunque sia se un numero $c$ è “cortese” nel primo caso esistono due interi $n,m inNN,n>m$ tale che $sum_(k=m)^(n)k=t$
se $m ne 0$ allora $t=sum_(k=0)^(n)k-sum_(k=0)^(m-1)k=(n(n+1))/2-((m-1)m)/2$
e ora(?)
Comunque sia se un numero $c$ è “cortese” nel primo caso esistono due interi $n,m inNN,n>m$ tale che $sum_(k=m)^(n)k=t$
se $m ne 0$ allora $t=sum_(k=0)^(n)k-sum_(k=0)^(m-1)k=(n(n+1))/2-((m-1)m)/2$
e ora(?)
Do la mia soluzione; non ho esaminato tutto quanto detto nel link indicato da axpgn.
Come detto da anto_zoolander, sse $c$ è un numero cortese si ha
$c=sum_(k=m)^n k=((n-m+1)(n+m))/2$
Il calcolo può essere fatto nel modo da lui indicato, ma trovo più rapido ricordare che la somma dei termini di una progressione aritmetica è data dal numero dei termini per la media fra il primo e l'ultimo. Ho quindi
$2c=(n-m+1)(n+m)$
e noto che i due fattori hanno parità opposta e sono entrambi maggiori di 1. Ne consegue la soluzione: si scompone $2c$ nel prodotto di due fattori, uno dei quali dispari e maggiore di 1, e si ricavano $n,m$ dal sistema
${(n-m+1="fattore minore"),(n+m="fattore maggiore"):}$
- Se $c$ è una potenza di 2, non è possibile trovare il fattore dispari maggiore di 1, quindi non ci sono soluzioni.
- Se $c$ ha un unico divisore dispari, la soluzione è unica; succede quando $c$ è un primo dispari, eventualmente moltiplicato per una potenza di 2.
- Se $c$ ha due o più divisori dispari, ci sono più soluzioni possibili; ad esempio, con $c=30$ si ha $2c=60$ e sono accettabili le fattorizzazioni $3*20$ oppure $5*12$ oppure $15*4$
Come detto da anto_zoolander, sse $c$ è un numero cortese si ha
$c=sum_(k=m)^n k=((n-m+1)(n+m))/2$
Il calcolo può essere fatto nel modo da lui indicato, ma trovo più rapido ricordare che la somma dei termini di una progressione aritmetica è data dal numero dei termini per la media fra il primo e l'ultimo. Ho quindi
$2c=(n-m+1)(n+m)$
e noto che i due fattori hanno parità opposta e sono entrambi maggiori di 1. Ne consegue la soluzione: si scompone $2c$ nel prodotto di due fattori, uno dei quali dispari e maggiore di 1, e si ricavano $n,m$ dal sistema
${(n-m+1="fattore minore"),(n+m="fattore maggiore"):}$
- Se $c$ è una potenza di 2, non è possibile trovare il fattore dispari maggiore di 1, quindi non ci sono soluzioni.
- Se $c$ ha un unico divisore dispari, la soluzione è unica; succede quando $c$ è un primo dispari, eventualmente moltiplicato per una potenza di 2.
- Se $c$ ha due o più divisori dispari, ci sono più soluzioni possibili; ad esempio, con $c=30$ si ha $2c=60$ e sono accettabili le fattorizzazioni $3*20$ oppure $5*12$ oppure $15*4$
Decisamente migliore di quella ... 
si! la dimostrazione si risolve con la formula di Gauss
[ot]è sempre bello essere citati 
[/ot]
[/ot]
@anto_zoolander
[ot]Dipende ...[/ot]
[ot]Dipende ...
[/ot]
[ot]Non si finisce mai di scoprire qualcosa di nuovo: i numeri "cortesi" li avevo già sentiti nominare ma oggi ho scoperto i numeti "brasiliani" ... [/ot]
Cordialmente, Alex
[/ot]Cordialmente, Alex
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