[Number Theory] IMO problem 2007

[dan952]

Find all pairs $(n,k)$ of positive integers for which $7^k-3^n$ divides $k^4+n^2$.

Trovare tutte le coppie pari $(n,k)$ di interi positivi tali che $7^k-3^n$ divide $k^4+n^2$.

Perché scrivo sia in inglese che in italiano? Non ho niente da fare... -.-

[orsoulx]

"dan95":Perché scrivo sia in inglese che in italiano? Non ho niente da fare...

... oppure vuoi confondere i solutori, inventandoti un "pari"
Ciao
B.

[dan952]

Devo averlo aggiunto pensando alla soluzione

[Pachisi]

Ci provo (anche se non sono sicuro di una cosa):

Essendo $ 7^k-3^n $ un multiplo di $4$ per ogni coppia di interi $(n,k)$ dovrà esserlo anche $k^4+n^2$. Dunque, $n$ e $k$ sono entrambi pari. Scriviamo $n=2x$ e $k=2y$ per opportuni interi positivi $x$ e $y$. Allora, $ 7^k-3^n =(7^y-3^x)(7^y+3^x) | 2(8y^4+2x^2)$. Ora notiamo che $3^x>2x^2$ per $x \geq 1$ e $7^y>8y^4$ per $y \geq 4$. Ma deve essere $8y^4+2x^2 \geq 7^y+3^x$, dunque $y=1,2,3$.
Ora, per $y=1$, si ha che $7+3^x>8+2x^2$ per $x \geq 3$. Ma deve essere $8+2x^2 \geq 7+3^x$, dunque $x=1,2$. Per $y=2$, si deve avere $49+3^x < 8+2x^2$, ma $49+3^x>8+2x^2$ per $x\geq 1$. Stessa cosa per $y=3$.
Quindi abbiamo $y=1,2,3$ e $x=1,2$. Provando tutti i casi, troviamo che $x=2, y=1$ è l'unica soluzione. Ossia $n=4, k=2$.

[dan952]

Quello che vuoi dimostrare è che non esistono coppie $(x,y)$ tali che $7^y+3^x \leq 8y^4+2x^2$ quindi non ce ne frega nulla se $7^y+3^x| 8y^4+2x^2$ o no, perché quella disuguaglianza "varrebbe" in entrambi i casi.

[Pachisi]

Giusto, hai ragione. Comunque mi sembra che la dimostrazione funzioni (con la tua modifica), no?

[dan952]

Si mi sembra corretto

[orsoulx]

"Pachisi":Essendo \( 7^k−3^n \) un multiplo di 4 per ogni coppia di interi (n,k)...

dan95 ha suggerito che k ed n siano pari, ma se vogliamo dimostrarlo serve un ulteriore passetto : se k ed n hanno parità diversa \( 7^k-3^n \) non è multiplo di 4.
Ciao
B.

[Pachisi]

Se $k$ e $n$ sono di parità diversa $k^4+n^2$ è dispari mentre $7^k-3^n$ è pari. Quindi $k$ e $n$ devono avere la stessa parità. Se sono entrambi dispari, $7^k-3^n$ è multiplo di 4 mentre $k^4+n^2$ non lo è. Dunque, $k$ e $n$ sono entrambi pari.

[dan952]

Ops, non me ne ero accorto la prima parte l'ho letta frettolosamente...tuttavia pachisi ha più volte dato dimostrazione di saperci fare con questi problemi quindi ho dato un pò per scontato il suo ragionamento.

[orsoulx]

Conosco l'abilità di Pachisi, Capita a tutti di concentrarsi sui passaggi difficili e distrarsi su quelli più banali.
Ciao
B.

[Pachisi]

Grazie ad entrambi per i complimenti