Non tanto facile ...

[alfredo4]

[gugo82]

[ot]Sempre più facile che rispettare le regole del forum (ad esempio, non creando account multipli)... Vero?[/ot]

[alfredo4]

Ecco un altro ...intelligentone!

[Erasmus_First]

Osservcazioni preliminari.
a) Disegno NON in scala, (per cortese eufemismo ).
In particolare ... come fa la retta $AG$ ad intersecare la retta $BC$ nel punto medio del segmento $\bar[BC]$?
b) Incompleta conoscenza della lingua italiana, (ancora per cortese eufemismo. ).
«Nel triangolo ABC:
• l'ortocentro H dista 25/4 dal vertice A;
• il baricentro G dista 56/15 dalla retta BC;
• Il coseno dell'angolo BÂC vale 5/13.»
c) Pare che 56 sia un terzo di 168 che è il doppio di 84 che pare essere anche la metà di 14 per 12.
––––––––––––
Eh, eh, Alfredo!
Tu, con la pretesa di saper leggere il "profilo" psicologico di , ... l'hai provocato (solo un pochino: reazioni bonarie, pedagogiche, socratiche ].

Mi sa che ti sei "ispirato" al triangolo di lati ... – no, non li dico (ma Alfredo ... è un "intuitivo"!) – già usato altrove da .

Se non è così ... AMEN!
Ma è pronto a scommettere 100 euro contro 10 euro che ha indovinato.

––––

[alfredo4]

Ai tanti "pare", con cui Erasmus ha riempito la sua risposta, vorrei aggiungerne uno io:
"pare che Erasmus non abbia ancora le idee chiare su come risolvere il problema e cerchi solo di prendere
tempo, svicolando per altre strade".
Per conto mio può svicolare quanto vuole. Aggiungo anche che, se Erasmo con i continui riferimenti a certi alias
( ), vuole smascherare (per così dire) qualcuno, può farlo senza girarci grottescamente intorno con l'aria di dire:"vedete come sono furbo !"
Se invece qualcuno vorrà dedicarsi alla soluzione del quesito piuttosto che a ridicole
allusioni, ne sarò contento. Per il resto, per conto mio, la cosa finisce qui.

[Erasmus_First]

"alfredo4":Ai tanti "pare", con cui Erasmus ha riempito la sua risposta [...]

I "pare" sono due in una risposta di oltre 100 parole. Ergo, la frase citata ... "a mè mé pare 'na strunzata"

"alfredo4": [...]"pare che Erasmus non abbia ancora le idee chiare su come risolvere il problema e cerchi solo di prendere tempo, svicolando per altre strade".

Il triangolo ora in questione [di lati lunghi 13, 14 e 15] è lo stesso usato da Erasmus come variante al problema "Trovare i lati ..." (postato da ciromario) nel quale i lati da trovare risultavano quelli di un triangolo rettangolo.

"alfredo4":Per conto mio può svicolare quanto vuole. Aggiungo anche che, se Erasmo con i continui riferimenti a certi alias ( ), vuole smascherare (per così dire) qualcuno, può farlo senza girarci grottescamente intorno con l'aria di dire:"vedete come sono furbo !"

???
E' lapalissiano che le farneticazioni siano incomprensibili ... ed infatti non ho capito!

"alfredo4":Se invece qualcuno vorrà dedicarsi alla soluzione del quesito [...] ne sarò contento.

Accontento alfredo4 sottoponendomi volontariamente a questa specie di "forche caudine" (percorrendo cioè una via che conduca alla soluzione [per altro già nota])
a) Sia $L$ l'intersezione delle rette $CH$ e $AB$. Il fatto che il coseno dell'angolo BÂC valga 5/13 permette di porre
$\bar[CA] = k·13; \bar[AL] = k·5; \bar[LC] = k·12$ (dove k è un fattore positivo per ora incognito).
b) Sia $M$ l'intersezione delle rette $AH$ e $BC$. Dal fatto che il baricentro $G$ dista 56/15 dalla retta $BC$ segue che l'altezza $\bar[AM]$ [relativa al lato $\bar[BC]$] vale 56/5.

Si provi a verificare se va bene o no k = 1.
Nell'ipotesi k=1 si ha quanto segue.
• $\bar[CA] = 13$; $\bar[AL]=5$; $\bar[LC]=12$.
• $\bar[LH] = 5·sqrt(25/16 - 1) = 5·3/4 = 15/4$; $\bar[LH]/\bar[AH] = 3/5$.
• Dalla similitudine tra i triangoli rettangoli $ALH$ e $AMB$ e per essere $\bar[AM]= 56/5$ viene:
$\bar[AB] = 14$; $\bar[BM] = 42/5$. (*)
• Dall'essere $\bar[LH]=15/4$ e $\bar[LC]= 12$ viene $\bar[HC]=33/4$. (**)
• Dall'essere $\bar[AH]=25/4$ e $\bar[AM]= 56/5$ viene $\bar[HM]=99/20$. (***)
• Tramite la (**) e la (***), nel triangolo rettangolo $HMC$ viene $\bar[MC] = 33/5$. (****)
Pertanto, [dalla (*) e dalla (****)], viene $\bar[BC] = 42/5 + 33/5 = 75/5 = 15$.
La stessa lunghezza $\bar[BC] = 15$ viene dal fatto che i prodotti
$\bar[AB]·\bar[LC] = 14·12$ e $\bar[BC]·\bar[AM] = \bar[BC]·56/5$
sono entrambi il doppio dell'area di $ABC$; ossia:
$14·12 = \bar[BC]·56/5$ –––> $\bar[BC]=15$.

E' dunque verificato che va bene k = 1 (essendo allora soddisfatte tutte le condizioni insite nei dati del quesito) e quindi che i lati del triangolo $ABC$ hanno le seguenti lunghezze:
$a = \bar[BC] = 15$; $b = \bar[CA]=13$; $c=\bar[AB] = 14$.

––––

[alfredo4]

Ne metto una pure io...
Dai dati risulta:
$AT=3\cdot GL={56}/5; \sin\alpha={12}/{13}$
$BE=AB\cdot \sin\alpha={12}/{13}AB;AE=AB\cdot \cos\alpha=5/{13}AB$
Dalla similitudine di AEH e BEC si ricava:
$AH:AE=BC:BE->BC={AH\cdot BE}/{AE}=15$
Ora é:
$BC\cdotAT=AC\cdot BE-> AB\cdotAC=182$
$AB^2+AC^2-2\cdotAB\cdotAC\cdot\cosalpha=BC^2->AB^2+AC^2=365$
Si ha quindi il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}AB^2+AC^2=365\\AB\cdot AC=182\end{cases} \)
Da cui:
$AB=13,AC=14$ [o viceversa]
in definitiva i lati di ABC misurano rispettivamente $13,14,15$