Non ci sono più i bambini di una volta ...

[Sk_Anonymous]

http://www.carloneworld.it/Humor_Flash_31_Bimbo_Natale.htm

Qual è il più grande divisore proprio di \(\displaystyle N=5^{40}-3^{40} \) ?

[@melia]

Divisore proprio di \(\displaystyle N=5^{40}-3^{40} \) ?
$(5^40-3^40)/2$

[Sk_Anonymous]

Giusto ! Però è malinconico vedere che a rispondere è una prof. Se è vero che forse non ci sono i bambini di una volta, è sicuro che non ci sono gli studenti di una volta ! Sarà che non si può pretendere troppo durante le feste ...natalizie !

[Ariz93]

"ciromario":http://www.carloneworld.it/Humor_Flash_31_Bimbo_Natale.htm

Qual è il più grande divisore proprio di \(\displaystyle N=5^{40}-3^{40} \) ?

essendo :
\(\displaystyle a^n-b^n= (a-b) \sum_{k=0}^{k=n-1} a^{n-k-1} b^k \)

\(\displaystyle (5^40-3^40)/2 \)

[Il Pitagorico]

$ (5^40-3^40)/2 $

[Sk_Anonymous]

@Ariz93
Penso che tu abbia fatto un po' di confusione. Per divisore "proprio" di N intendo un divisore di N diverso da N ( e da 1) . Nel nostro caso il massimo divisore proprio di \(\displaystyle 5^{40}-3^{40} \) non è certo \(\displaystyle 5-3=2 \) ma evidentemente l'altro fattore della scomposizione, ovvero \(\displaystyle 5^{39}+5^{38}\cdot 3+5^{37}\cdot 3^2+...+5\cdot3^{38}+3^{39}=\frac{5^{40}-3^{40}}{2} \). Come indicato da Amelia e da Il Pitagorico.
Inoltre la formula di scomposizione esatta è:
\(\displaystyle a^{n}-b^{n} =(a-b)\sum_{k=0}^{k=n-1}a^{n-k-1}b^k \)

[Ariz93]

"ciromario":@Ariz93
Penso che tu abbia fatto un po' di confusione. Per divisore "proprio" di N intendo un divisore di N diverso da N ( e da 1) . Nel nostro caso il massimo divisore proprio di \(\displaystyle 5^{40}-3^{40} \) non è certo \(\displaystyle 5-3=2 \) ma evidentemente l'altro fattore della scomposizione, ovvero \(\displaystyle 5^{39}+5^{38}\cdot 3+5^{37}\cdot 3^2+...+5\cdot3^{38}+3^{39}=\frac{5^{40}-3^{40}}{2} \). Come indicato da Amelia e da Il Pitagorico.
Inoltre la formula di scomposizione esatta è:
\(\displaystyle a^{n}-b^{n} =(a-b)\sum_{k=0}^{k=n-1}a^{n-k-1}b^k \)

Si scusami ciromario avevo fatto un po di confusione (non avevo letto proprio e no mi piace guardare le altre soluzioni) , per la formula..breve svista.

[Zero87]

"@melia":[...]

Non ci avevo proprio pensato, mi sono scervellato quando invece la soluzione ce l'avevo sotto gli occhi (il ché mi dà l'idea per il rilancio)...

... Se chiedessi, ora, qual è il più grande divisore improprio di $5^(40)-3^(40)$?

@ciromario, @melia... ssssh, voglio far fondere un po' di cervelli

[Ariz93]

"Zero87":[quote="@melia"][...]

Non ci avevo proprio pensato, mi sono scervellato quando invece la soluzione ce l'avevo sotto gli occhi (il ché mi dà l'idea per il rilancio)...

... Se chiedessi, ora, qual è il più grande divisore improprio di $5^(40)-3^(40)$?

@ciromario, @melia... ssssh, voglio far fondere un po' di cervelli [/quote]
scusa non dovrebbe essere

\(\displaystyle 5^{40}-{3^40} \)

?

[Zero87]

"Ariz93":scusa non dovrebbe essere [...]?

Sì, infatti, volevo solo far cuocere qualche cervello ihihih ...
Spesso è quando le soluzioni sono sotto gli occhi che sembrano lontane chilometri: il problema originale di ciromario era davvero facile - dopo che ho visto la soluzione di @melia - poiché bastava pensare che la differenza tra 2 dispari è un numero pari dunque $2$ è un divisore di quell'affare...

PS. Come mai quando scrivi la potenza lo zero ti rimane sotto?

[j18eos]

Una soluzione più calcolosa: \[5^{40}-3^{40}=(5^{20}+3^{20})(5^{20}-3^{20})=...=(5^{20}+3^{20})(5^{10}+3^{10})(5^5+3^5)(5^4+5^33+5^23^2+53^3+3^4)2\] si nota così che \(\frac{5^{40}-3^{40}}{2}\) divide il dato numero.

[Ariz93]

"Zero87":

Sì, infatti, volevo solo far cuocere qualche cervello ihihih ...
Spesso è quando le soluzioni sono sotto gli occhi che sembrano lontane chilometri: il problema originale di ciromario era davvero facile - dopo che ho visto la soluzione di @melia - poiché bastava pensare che la differenza tra 2 dispari è un numero pari dunque $2$ è un divisore di quell'affare...

PS. Come mai quando scrivi la potenza lo zero ti rimane sotto?

si infatti è successo anche a me e rosichi quando trovi che è semplicissima, comunque ho corretto per le potenze .

Metto un bonus se sommo le cifre di 1000! e itero questa procedura fino ad ottenere solo le unità che numero ottengo?

[Zero87]

"Ariz93":si infatti è successo anche a me e rosichi quando trovi che è semplicissima

Eh lo so, per questo ho rilanciato .

"Ariz93":Metto un bonus se sommo le cifre di 1000! e itero questa procedura fino ad ottenere solo le unità che numero ottengo?

Non ho capito la domanda: "sommi le cifre di $1000!$" oppure "sommi i fattori di $1000!$ e poi vedi cosa ottieni all'unità"?

[@melia]

9

[Ariz93]

Brava Melia

@Zero87

dopo che hai moltiplicato \(\displaystyle 1000*999*998*....*1 \) esce fuori un numero , sommi le cifre di quel numero esce fuori un altro numero, continui così finché non ottieni che la cifra delle unità, qual'è?

[Zero87]

"Ariz93":@Zero87

dopo che hai moltiplicato \(\displaystyle 1000*999*998*....*1 \) esce fuori un numero , sommi le cifre di quel numero esce fuori un altro numero, continui così finché non ottieni che la cifra delle unità, qual'è?

Grazie per il chiarimento.

$9$, però oltre ad @melia, aggiungo che è così perché $1000! =9\cdot k$ (con $k$ naturale che potrei anche esprimere, ma non mi dilungo più di tanto), quindi iterando il meccanismo di sommare le cifre...

[Ariz93]

ok

[giammaria2]

Carino il problema: sembra di dover fare molti calcoli, mentre la risposta è immediata.

In pratica, si tratta di fare la prova del 9, a parte il fatto che non lo sostituiamo con lo zero. Sappiamo che qualsiasi numero divisibile per 9 dà 9 in questa prova, quindi basta che sia $n>=6$ perché $n!$ dia 9.