No all'abusivismo ( giochi matematici)

[Carol18]

Ciao a tutti!
Ho trovato un po' di difficoltà nel risolvere il seguente esercizio :

"16- No all'abusivismo

In via Pitagora i numeri civici delle case partono (senza interruzioni, nè numeri bis) dal n1 , quello della prima casa. Un bel giorno, una di queste viene abbattuta per ordinanza del sindaco, perchè abusiva. La media aritmetica dei numeri civici delle case, in questo modo, aumenta ed è ora 95,25. Qual era il numero civico della casa abbattuta? "

Ho pensato alle progressioni aritmetiche, ma non mi viene... Mi potete dare una mano?
Grazie mille,
buon weekend

[wall98]

mi permetto di riscrivere qualche conto sballato che aveva pronosticato luca97
[ot]da \(\displaystyle \frac {n(n+1)}{2} -k =95,25(n-1) \) si procede con come scritto da luca97, ovviamente i conti verranno diversi[/ot]

[Carol18]

Sì, giammaria, pur ottenendo il risultato corretto, mi convinceva poco, è per questo che ho postato il quesito. Comunque ti ringrazio, ringrazio anche Rigel .

[giammaria2]

Faccio un rilancio: se il testo non avesse parlato di aumento della media e si fosse limitato a dire che dopo l'abbattimento la media diventava 95,25, quante e quali sarebbero state le soluzioni?

[superpippone]

Se non mi sono perso per strada, non ci sono altre soluzioni accettabili

[giammaria2]

Concordo; ci starebbe bene la dimostrazione.

[Rigel1]

La dimostrazione è sostanzialmente contenuta nel mio precedente messaggio; usando le stesse notazioni si ha infatti
\[
\delta := m' - m = \frac{1}{2} - \frac{k-1}{n-1},
\]
dunque \(|\delta| \leq 1/2\). Poiché \(m'=95.25\) ed \(m\) è semi-intero, gli unici valori possibili di \(m\) sono \(95\) e \(95.5\).
D'altra parte, per \(m=95.5\) si avrebbe \(n = 190\) a cui corrisponderebbe \(k = (n+3)/4\) non intero.

[matematicus95]

Come faccio a trovare in $140593+32k$ quel k che mi fa venire un quadrato perfetto e perché deve essere minore di 95?

[giammaria2]

Mando anche la mia soluzione, che mi pare più semplice di quella di Rigel.

Comincio col notare che deve essere $n-1>0$, altrimenti dopo l'abbattimento non ci sarebbe alcuna media.
Col suo stesso ragionamento ricavo poi la media $m'$ e le sostituisco il valore noto $95,25=381/4$, ottenendo
$(n^2+2n-2k)/(2(n-1))=381/4$ da cui ricavo $k=(2n^2-379n+381)/4$

Noto ora che deve essere $k>=1$, quindi
$2n^2-379n+381>=4->2n^2-379n+377>=0->(n-1)(2n-377)>=0$
e poiché il primo fattore è positivo $n>=377/2=188,5$

Ma deve anche essere $k<=n$, quindi
$2n^2-379n+381<=4n->2n^2-383n+381<=0->(n-1)(2n-381)<=0$
e poiché il primo fattore è positivo $n<=381/2=190,5$

Gli unici valori possibili per $n$ sono quindi $189$ e $190$; il secondo va scartato perché, essendo pari, non darebbe un valore intero per $k$.

[wall98]

@matematicus
sappiamo che la media iniziale è \(\displaystyle \frac{ n(n+1)}{2n}= \frac{n+1}{2} < 95,25 \Longrightarrow\ n \le 189 \) e sappiamo che \(\displaystyle n>0 \ e \ k>0 \)
visto che la media s'è alzata,k è minore della media,cioè \(\displaystyle k<95,25 \)

quindi \(\displaystyle 4n=379 \pm \sqrt{379^2 - 3048 + 32k} \le 756 \)
ora se c'è il meno, la radice deve essere minore di 379, altrimenti si avrebbe n negativo
notiamo che al minimo la radice puo valere \(\displaystyle \sqrt{379^2-3048+32}=375 \)
quindi basta impostare un equazione del tipo \(\displaystyle x^2=379^2-3048+32k \) facendo variare x tra 375 e 378 estremi compresi e ricavando k trovando come unica soluzione accettabile (ricordando che n è intero) k=48 (se ne trovano altre,ma tutto cio è frutto del non utilizzo del campo d'esistenza)
ora se c'è il piu ,avremo un equazione del tipo \(\displaystyle x^2=379^2-3048+32k \) con x compreso tra 375 e 378 perche se x vale piu di 378,la somma di 379 e x supera 756, e sono le stesse equazioni di prima.
Come ben si vede alla fine gira e rigira si deve sempre lavorare con le disuguaglianze