Mostrare che $2011^4+4^2011$ non è primo
Salve a tutti 
Come da titolo sto cercando di mostrare che $2011^4+4^2011$ non è primo.
Per adesso non ho raggiunto molti risultati.
Inizialmente avevo notato che:
$2011^4 + 4^2011 = (2011^2)^2 + (2^2011)^2$ e quindi ho pensato: Se fosse una terna pitagorica avrei risolto il problema dovendo esistere un numero $x$ tale per cui $2011^4 + 4^2011 = x^2$.
Mettendo a sistema $2011^2$ e $2^2011^$ con le equazioni $u^2 - v^2$ e $2uv$ non ne ho però ricavato nulla.
Ho provato poi a scomporre e ricomporre la somma e a ragionare impostando un'equazione del tipo:
$2011^4 + 4^2011 -= 0 mod p$ ma anche da questo non ho ricavato molto.
Qualche hint?
Come da titolo sto cercando di mostrare che $2011^4+4^2011$ non è primo.
Per adesso non ho raggiunto molti risultati.
Inizialmente avevo notato che:
$2011^4 + 4^2011 = (2011^2)^2 + (2^2011)^2$ e quindi ho pensato: Se fosse una terna pitagorica avrei risolto il problema dovendo esistere un numero $x$ tale per cui $2011^4 + 4^2011 = x^2$.
Mettendo a sistema $2011^2$ e $2^2011^$ con le equazioni $u^2 - v^2$ e $2uv$ non ne ho però ricavato nulla.
Ho provato poi a scomporre e ricomporre la somma e a ragionare impostando un'equazione del tipo:
$2011^4 + 4^2011 -= 0 mod p$ ma anche da questo non ho ricavato molto.
Qualche hint?
Risposte
Non è tanto difficile.
Un numero che finisce per 1, elevato a qualsiasi potenza finisce sempre per 1.
Le potenza dispari di un numero che finisce per 4, finiscono sempre per 4 (le potenze pari per 6).
Un numero che finisce per 1 sommato ad un numero che finisce per 4, dà come risultato un numero che finisce per 5.
Un numero che finisce per 5, è ovviamente divisibile per 5 e pertanto non può essere primo.
Un numero che finisce per 1, elevato a qualsiasi potenza finisce sempre per 1.
Le potenza dispari di un numero che finisce per 4, finiscono sempre per 4 (le potenze pari per 6).
Un numero che finisce per 1 sommato ad un numero che finisce per 4, dà come risultato un numero che finisce per 5.
Un numero che finisce per 5, è ovviamente divisibile per 5 e pertanto non può essere primo.
Giustamente, non ci avevo pensato! Grazie 
"Mostrare che $n^4+4^n$ non è primo (con $n$ naturale)" era un thread di qualche tempo fa... ma adesso ho il dubbio se fosse qui o nella mia breve permanenza su scimat.
Comunque lo uso come rilancio per chi è interessato.
Comunque lo uso come rilancio per chi è interessato.
@Zero87
Bisogna aggiungere "ed $n>=2$" o "$n>1$".
Se $n$ è pari, allora sia $n^4$ che $4^n$ saranno pari e dunque anche la somma.
Se $n$ è dispari, si ha
$ n^4+4^n = n^4+2^(2n)+n^2* 2^(n+1)-n^2*2^(n+1)
=n^4+2^(n+1)*n^2+2^(2n)-n^2*2^(n+1)
={n^2 + 2^n}^2 - {n*2^((n+1)/2)}^2$
dove $(n+1)/2$ è intero con $n$ dispari.
Abbiamo i fattori
${n^2+n*2^((n+1)/2)+2^n}{n^2 -n*2^((n+1)/2)+2^n}$
e il fattore sulla destra è maggiore di uno se $n>1$.
Quindi $n^4+4^n$ è composto per tutti i numeri $n>1$.
Bisogna aggiungere "ed $n>=2$" o "$n>1$".
Se $n$ è pari, allora sia $n^4$ che $4^n$ saranno pari e dunque anche la somma.
Se $n$ è dispari, si ha
$ n^4+4^n = n^4+2^(2n)+n^2* 2^(n+1)-n^2*2^(n+1)
=n^4+2^(n+1)*n^2+2^(2n)-n^2*2^(n+1)
={n^2 + 2^n}^2 - {n*2^((n+1)/2)}^2$
dove $(n+1)/2$ è intero con $n$ dispari.
Abbiamo i fattori
${n^2+n*2^((n+1)/2)+2^n}{n^2 -n*2^((n+1)/2)+2^n}$
e il fattore sulla destra è maggiore di uno se $n>1$.
Quindi $n^4+4^n$ è composto per tutti i numeri $n>1$.
@Luca
Innanzitutto ti mando un saluto.
Comunque, anche tu ricordi un post del genere? Io non ricordo di chi era e in che sezione stava - magari come ho detto era su scimat - ma la mia mente mi dice che era una cosa postata da Pianoth. Forse mi sbaglio, boh.
Come ho detto, vado a memoria e non ricordo le ipotesi: per il resto si risolveva proprio nel modo in cui l'hai risolto tu.
Innanzitutto ti mando un saluto.
Comunque, anche tu ricordi un post del genere? Io non ricordo di chi era e in che sezione stava - magari come ho detto era su scimat - ma la mia mente mi dice che era una cosa postata da Pianoth. Forse mi sbaglio, boh.
Come ho detto, vado a memoria e non ricordo le ipotesi: per il resto si risolveva proprio nel modo in cui l'hai risolto tu.
Ricordo che ci avevo provato 
... senza riuscirci.
Ma é più recente di quanto pensi. Ricordo di averlo visto intorno ad Aprile...
Non ricordavo completamente la dimostrazione, ma con un po' di logica e memoria ci sono arrivato.
P.S.: saluti anche da parte mia!
... senza riuscirci.Ma é più recente di quanto pensi. Ricordo di averlo visto intorno ad Aprile...
Non ricordavo completamente la dimostrazione, ma con un po' di logica e memoria ci sono arrivato.
P.S.: saluti anche da parte mia!
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