Moltiplicare due gruppi di numeri primi

[ufo]

Ho una domanda abbastanza semplice, ma la risposta mi sfugge. Forse voi potrete aiutarmi!

Supponiamo di avere due gruppi di numeri primi. Ogni numero primo compare al più una volta, indipendentemente dal gruppo (quindi i due gruppi non hanno elementi in comune). Se moltiplico tra loro tutti gli elementi dei due gruppi, potrò mai ottenere lo stesso risultato più di una volta?

[size=150]ESEMPIO[/size]

Gruppo A: 1, 3, 11
Gruppo B: 2, 5, 13
Moltiplicazioni:
1*2=2
1*5=5
1*13=13
3*2=6
3*5=15
3*13=39
11*2=22
11*5=55
11*13=143

Nell'esempio riportato, tutti i risultati sono unici. Esiste una dimostrazione rigorosa in grado di affermare che questa situazione si verifica sempre?
Grazie.

[superpippone]

Per logica direi che non può mai succedere che un risultato si ripeta.
Questo perchè essendo tutti numeri primi e diversi, non possono ovviamente essere multipli di ness'un altro numero, e quindi non può ripetersi un risultato.

[ufo]

"superpippone":Per logica direi che non può mai succedere che un risultato si ripeta.
Questo perchè essendo tutti numeri primi e diversi, non possono ovviamente essere multipli di ness'un altro numero, e quindi non può ripetersi un risultato.

Infatti, il ragionamento che hai fatto tu è lo stesso che ho fatto io! Ma esiste una dimostrazione rigorosa (con la notazione matematica, per intenderci)?

[Gi81]

Ma certo che esiste...

Sia $mathbbP$ l'insieme dei numeri primi. Siano $A, B sube mathbbP$, non vuoti e tali che $A nn B = emptyset$.
Supponiamo per assurdo che esistano $p_1, p_2 in A$ , $q_1,q_2 in B$ tali che $p_1!= p_2, q_1!=q_2$ e $p_1*q_1= p_2*q_2$

In una riga si riesce ad arrivare ad un assurdo