Mettere la cifra dell'unità come prima cifra

[Gi81]

Sia $f: NN -> NN$ tale che, per ogni $n in NN$, $f(n)$ è il numero intero ottenuto "mettendo" la cifra delle unità di $n$ come prima cifra. Ad esempio: $f(145)=514$, $f(9022)=2902$, $f(25)=52$.

Se vogliamo una definizione un po' più rigorosa:
Per ogni $k in NN$ e $a_k, ..., a_1, a_0 in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
$f(a_k *10^k + a_(k-1) * 10^(k-1)+... +a_1*10 +a_0):= a_0*10^k +a_k*10^(k-1)+ ....+a_2*10+a_1$

Esistono $n in NN$ tali che $f(n) = 2n$?

[axpgn]

$n=105.263.157.894.736.842$
$2n=210.526.315.789.473.684$

Cordialmente, Alex

[Zero87]

"axpgn":

$n=105.263.157.894.736.842$
$2n=210.526.315.789.473.684$

Cordialmente, Alex

Pensavo di essere lontano dalla soluzione (ho cancellato il post) invece c'ero vicino...

... visto che c'entra quel caspio di 19... Mi veniva, infatti, qualcosa del tipo $a_0 = \frac{19}{10^k-1} (...)$ ...

Comunque mi sono piantato nella soluzione, a mente fresca ci riprovo...

[axpgn]

Uno più lungo …

$f(n)=15n$

$n=0335570469798657718120805369127516778523489932885906040268456375838926174496644_$
$_295302013422818791946308724832214765100671140939597315436241610738255$

$15n=50335570469798657718120805369127516778523489932885906040268456375838926174496644_$
$_29530201342281879194630872483221476510067114093959731543624161073825$

Dovrebbero essere $148$ cifre ma non le ho contate

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex

Sempre esagerato. Giocando a chi lo trova più grande non vince nessuno. Inoltre, anche se la definizione 'rigorosa' di Gi8 lo consente, un $n>0$ che inizia con $ 0 $ non è particolarmente bello.
Il più piccolo può essere, invece, interessante.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx

Ma quello è il più piccolo (tra i $15n$) così come l'altro è il più piccolo tra i $2n$

Per quanto riguarda lo zero: purtroppo, tranne per i moltiplicatori molto bassi, lo zero (anzi gli zeri) sono praticamente sempre necessari; però prima di dare qualche dettaglio (proprio "qualche" eh ) volevo aspettare l'intervento di Zero87, che è interessato (e impegnato) sull'argomento.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex
Intendevo il più piccolo per qualsiasi moltiplicatore maggiore di $ 1 $,
Ciao

[axpgn]

Allora dovrebbe essere …

In assoluto il moltiplicatore $10$ cioè $02->20, 03->30, \text(ecc.)$ Invece senza zeri dovrebbe essere il moltiplicatore $4$ e precisamente $102564->410256, 128205->512820, 153846->615384, \text(ecc.)$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
Ciao

[Zero87]

"axpgn":volevo aspettare l'intervento di Zero87, che è interessato (e impegnato) sull'argomento.

Non preoccuparti, quando mi ci metto su non vado a leggere le soluzioni altrui. Per ora poi mi sono fermato su un passaggio, ma chi l'ha dura la vince.

[Settevoltesette]

Come lo hai calcolato quel mostro?

[axpgn]

Con tanta pazienza

Dunque …

Posto $n$ il numero da trovare, poniamo sia $a$ il numero $n$ privato della cifra delle unità ovvero $n=10a+u$.
La richiesta è che $n$ possa generare un multiplo $m=kn$ semplicemente spostando la cifra delle unità $u$ davanti al numero stesso ovvero sia $m=kn=u*10^x+a$ dove $x$ è il numero delle cifre di $a$ (e quindi $n$ ha $x+1$ cifre).

Allora $m=kn=k(10a+u)=u*10^x+a$ da cui $a(10k-1)=u(10^x-k)$.

Risolvendo per $a$ abbiamo $a=u*(10^x-k)/(10k-1)$.

Sostituendo per $n$ infine otteniamo $n=u*(10^e-1)/(10k-1)$ dove $e=x+1$

In conclusione, il minimo valore di $n$ per un dato moltiplicatore $k$ ha $e$ cifre.

Quando la cifra delle unità $u$ è relativamente prima rispetto al denominatore $10k-1$ allora $e$ dipende solo dal moltiplicatore $k$.
La seguente tabella mostra i valori di $e$ per alcuni $k$ quando $u$ e il denominatore ($d=10k-1$) sono relativamente primi.

$k$	$d$	$e$
19	18	3
28	4	39
5	49	42
59	58	7
22	8	79
9	89	44

Il denominatore $d$ è sempre relativamente primo a $u$ quando $u$ è pari a $2, 4, 8$ e $5$.
Mentre per $3, 6, 9$ e $7$ può capitare che abbiano un fattore comune.
Per esempio se $u=7$ e $k=5$ allora $d=49$ quindi $d'=49/7=7$ per cui $e=6$

Per finire, aggiungo che se $(k-u)>1/10$ allora $n$ deve iniziare con uno zero per avere un risultato corretto, se $(k-10u)>1/10$ occorrono due zeri, se $(k-100u)>1/10$ ne occorrono tre, ecc.

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Non riesco a cavarmi d'impaccio, quindi posto il mio svolgimento, credo non molto corretto visto che non vado avanti.

Innanzitutto, considero questa scrittura
$a_k *10^k + a_(k-1) * 10^(k-1)+... +a_1*10 +a_0$
in essa considero $a_k \ne 0$ e, logicamente, $k>0$.
Sotto queste premesse, devo cercare quei numeri che soddisfano la seguente uguaglianza
$a_0*10^k +a_k*10^(k-1)+ ....+a_2*10+a_1=2 \cdot (a_k *10^k + a_(k-1) * 10^(k-1)+... +a_1*10 +a_0)$
che non è altro che $f(n)=2n$.
Posso fare un paio di raggruppamenti
$a_0*10^k +(a_k*10^(k-1)+ ....+a_2*10+a_1)=2 \cdot 10 \cdot (a_k *10^(k-1) + a_(k-1) * 10^(k-2)+... +a_1) +2 a_0$
poi, per motivi grafici di comodità, chiamo
$a_k*10^(k-1)+ ....+a_2*10+a_1=X$
da cui ho
$a_0 \cdot 10^k + X = 20 X +2a_0$
ovvero
$19 X = a_0 (10^k-2)$
quindi
$a_0 = \frac{19X}{10^k-2}$

Ora, alcune considerazioni: $a_0 \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ per costruzione.
$a_0=0$ è impossibile, perché si è supposto $X \ne 0$ (c'era $a_k \ne 0$ per il resto si tratta di una somma di termini non negativi).
Per come è definito $X$, si tratta di un numero compreso tra $10^(k-1)$ e strettamente minore di $10^k$ (al massimo vale $9,9999... \cdot 10^(k-1)$). Quindi il secondo membro di quell'uguaglianza è compreso tra $1,9$ e $19$. Siccome $a_0 \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$, allora $a_k \in {1,2,3,4,5}$ in modo da non far eccedere il valore del secondo membro oltre la singola unità.

Ho trovato solo una condizione su $a_k$, quindi @axpgn, il mio modo di procedere sicuramente non va bene o, almeno, non porta a niente.