Media

[axpgn]

Indipendentemente da quanti e quali numeri reali $x_1, x_2, …, x_n$ si possano selezionare nell'intervallo chiuso $[0, 1]$, si può dimostrare che esiste sempre un numero reale $x$ in quell'intervallo tale che la distanza media in valore assoluto dai vari $x_i$ sia pari esattamente a $1/2$, cioè:

$1/n sum_(i=1)^n |x-x_i| = 1/2$?


Cordialmente, Alex

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La risposta è sì.

Fissiamo \(n \) punti in \( [0,1] \) e ordiniamoli nel seguente modo, \(0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n \leq 1 \).
Poniamo dunque
\[ f(x) = \sum_{i=1}^{n} \left| x - x_i \right| \]
Abbiamo che \( f \) è continua in \( \mathbb{R} \) siccome è somma finita di funzioni continue. Inoltre \( f \geq 0 \). Abbiamo per il teorema dei valori intermedi che dato un intervallo \( [a,b] \) tale che \( f(a) < f(b) \) (risp. tale che \( f(b) < f(a) \) ) allora \( f \) prende tutti i valori compresi tra \( f(a) \) ed \( f(b) \) (risp. compresi tra \( f(b) \) ed \( f(a) \) ), dunque se troviamo un intervallo tale che \( f(a) \leq \frac{n}{2} < f(b) \) oppure \( f(b) \leq \frac{n}{2} < f(a) \) ci siamo assicurati dell'esistenza di almeno un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x)= \frac{n}{2} \).

Caso 0:
Supponiamo che \( x_1,\ldots, x_n \) sono tale che
\[ \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| = \frac{n}{2} \]
allora abbiamo terminato, basta scegliere \( x= 0 \).

Caso 1:
Supponiamo che \( x_1,\ldots, x_n \) sono tale che
\[ \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| < \frac{n}{2} \]
Il risultato, allora, segue immediatamente siccome abbiamo che
\[ f(0)= \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| < \frac{n}{2} \]
Inoltre abbiamo che
\[ f(1) = \sum_{i=1}^{n} \left| 1- x_i \right|= n - \sum_{i=1}^{n}x_i > \frac{n}{2} \]
Pertanto abbiamo che esiste \( x \in [0,1] \) tale che \( \frac{1}{n} f(x) = \frac{1}{2} \).

Caso 2:
Supponiamo che \( x_1,\ldots, x_n \) sono tale che
\[ \frac{n}{2} < \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| \leq n \]
Siano inoltre \( 0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_k \leq \frac{1}{2} \) e \( \frac{1}{2} < x_{k+1} \leq \ldots \leq x_n \leq 1 \).
Abbiamo allora che
\[ 0 \leq f(1/2) = \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{1}{2} - x_i \right| = \sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{2} - x_i \right) + \sum_{i=k+1}^{n} \left( x_i - \frac{1}{2}\right)\]
Abbiamo inoltre che per ogni \( 1 \leq i \leq k \) risulta che \( \left( \frac{1}{2} - x_i \right) \leq \frac{1}{2} \) e che per ogni \( k+1 \leq i \leq n \) risulta che \( \left( x_i - \frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2} \) dunque
\[ f(1/2) =\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{2} - x_i \right) + \sum_{i=k+1}^{n} \left( x_i - \frac{1}{2}\right) \leq \frac{k}{2} + \frac{n-k}{2} \leq \frac{n}{2} \]

Inoltre per ipotesi abbiamo che
\[ \frac{n}{2} < f(0)= \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| \leq n \]

Pertanto abbiamo che esiste \( x \in [0,1/2] \) tale che \( \frac{1}{n} f(x) = \frac{1}{2} \).

[axpgn]

La strada è quella però poteva essere più corta

$f(x)=1/n sum_(i=1)^n |x-x_i|$

$f(0)=1/n sum_(i=1)^n |-x_i| = 1/n sum_(i=1)^n x_i$

$f(1)=1/n sum_(i=1)^n |1-x_i| = 1/n sum_(i=1)^n (1-x_i) = 1/n(n-sum_(i=1)^n x_i) = 1-f(0)$

Quindi $f(0)+f(1)=1$ e di conseguenza, data la continuità, esiste almeno un $x in [0,1]$ per cui $f(x)=1/2$

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

[ot]Effettivamente era molto più rapido! Ma sai, a me piace il formalismo ah...è una battuta!! Meglio specificare altrimenti risulto ambiguo
Battute a parte, questo risultato non lo conoscevo onestamente e mi è piaciuto molto pensarci su![/ot]

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