M.C.D. e m.c.m
Recentemente ho scoperto una proprietà che non conoscevo:
Il prodotto tra due numeri é uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m..
Non ho mai provato a dimostrarlo, e magari potrebbe essere una banalità, oppure no. Affido a voi ogni osservazione e-o commento su una possibile dimostrazione.
Il prodotto tra due numeri é uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m..
Non ho mai provato a dimostrarlo, e magari potrebbe essere una banalità, oppure no. Affido a voi ogni osservazione e-o commento su una possibile dimostrazione.
Risposte
prova a dimostrarlo intanto 
è un problema carino di cui ci sono almeno 3 dimostrazioni (2 incerte, quelle che ho fatto io (poi magari mi dite se sono corrette?
) e 1 sicura)
se vuoi degli hint chiedi pure,intanto posso dire che una delle vie POTREBBE essere una pseudo-pseudo-induzione sui fattori...
è un problema carino di cui ci sono almeno 3 dimostrazioni (2 incerte, quelle che ho fatto io (poi magari mi dite se sono corrette?
) e 1 sicura)se vuoi degli hint chiedi pure,intanto posso dire che una delle vie POTREBBE essere una pseudo-pseudo-induzione sui fattori...
Ok... in effetti ho immaginato che ci fosse più di una soluzione.
Metto la prima dimostrazione che mi viene in mente, forse la più facile. Gradirei poi sapere anche la tua...
Metto la prima dimostrazione che mi viene in mente, forse la più facile. Gradirei poi sapere anche la tua...
ok, questa era la pseudo-pseudo-pseudo-induzione sui fattori, anche se l'idea è quella,scritta cosi è un pochino piu formale 
Vi propongo un paio di modi di dimostrarlo (se volete farlo per conto vostro non aprite lo spoiler):
Generalizzazione:
Dimostrare che, dati $a_1, a_2, ..., a_n$ interi positivi e $P$ il loro prodotto, allora:
$$P=mcm(a_1, a_2, ..., a_n)\cdot MCD\left(\frac{P}{a_1}, \frac{P}{a_2}, ..., \frac{P}{a_n}\right)$$
Dimostrare che, dati $a_1, a_2, ..., a_n$ interi positivi e $P$ il loro prodotto, allora:
$$P=mcm(a_1, a_2, ..., a_n)\cdot MCD\left(\frac{P}{a_1}, \frac{P}{a_2}, ..., \frac{P}{a_n}\right)$$
hint:
Metto la dimostrazione, che spero essere giusta, in spoiler.
@Edex
Ehm... hai detto che lo facevi per induzione ma dove l'hai usata?
In realtà hai solo dimostrato l'affermazione per $n=2$ e $n=3$.
Comunque ti consiglio di seguire il suggerimento di wall98: concentrati su un singolo primo $p$ invece che considerarli tutti (rendendo il testo più confusionario e dispersivo) e vedi come è il suo esponente a sinistra e a destra dell'uguaglianza. Se trovi che è uguale, allora lo stesso ragionamento vale per OGNI primo che compare, quindi in effetti hai dimostrato l'uguaglianza tra i due numeri.
Ad ogni modo secondo me c'è una dimostrazione più bella e concisa che sfrutta un'idea tutta diversa che in realtà io ho già espresso quando risolvevo il caso $n=2$ (cioè l'esercizio iniziale di questo topic). Anzi, in realtà ho scoperto questa generalizzazione che vi ho proposto proprio mentre risolvevo il caso semplice.
Ehm... hai detto che lo facevi per induzione ma dove l'hai usata?
In realtà hai solo dimostrato l'affermazione per $n=2$ e $n=3$.
Comunque ti consiglio di seguire il suggerimento di wall98: concentrati su un singolo primo $p$ invece che considerarli tutti (rendendo il testo più confusionario e dispersivo) e vedi come è il suo esponente a sinistra e a destra dell'uguaglianza. Se trovi che è uguale, allora lo stesso ragionamento vale per OGNI primo che compare, quindi in effetti hai dimostrato l'uguaglianza tra i due numeri.
Ad ogni modo secondo me c'è una dimostrazione più bella e concisa che sfrutta un'idea tutta diversa che in realtà io ho già espresso quando risolvevo il caso $n=2$ (cioè l'esercizio iniziale di questo topic). Anzi, in realtà ho scoperto questa generalizzazione che vi ho proposto proprio mentre risolvevo il caso semplice.
Se io dimostro l'affermazione per n numeri e per n+1 numeri poi non è automaticamente dimostrata anche per $n+m$ numeri con $m in NN$?
Sono nuovo nel campo delle dimostrazioni quindi può essere che abbia frainteso l'applicabilità dell'induzione: credevo potesse essere utilizzata anche a livello logico (per il numero degli elementi) e non solo a livello numerico.
Vi ringrazio per i chiarimenti.
Per quanto riguarda la dimostrazione l'ho modificata così:
Presi un insieme di n numeri ognuno con una propria fattorizzazione se i numeri non hanno fattori in comune l'affermazione è verificata perchè
$MCD(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = 1$
$m.c.m.(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = a_1*a_2*a_3*...*a_n$
Se invece c'è almeno un fattore in comune fra i numeri presi in considerazione allora il MCD sarà composto da tutti fattori in comune, ognuno con un esponente
$a = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) $ dove le $S$ corrispondono alle varie somme di tutti gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione dei vari numeri. In ogni somma manca però l'esponente dell'ennesimo fattore.
Il m.c.m. sarà invece il prodotto di tutti i fattori comuni e non.
I fattori comuni compariranno con esponente
$b = max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)$ dove le $\alpha$ identificano gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione di ogni numero.
Il prodotto $P$ tra m.c.m. e M.C.D. Sarà quindi uguale al prodotto di tutti i fattori, comuni e non, in cui i fattori comuni compaiono con esponente
$m = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) + max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = \alpha_1 + \alpha_2 + … + \alpha_n$ (nella somma finale compaiono tutti gli esponenti).
Poiché questo ragionamento vale per tutti i fattori allora il prodotto tra m.c.m. e M.C.D. è uguale al prodotto dei vari numeri.
Stavolta dovrebbe essere giusta no?
Sono nuovo nel campo delle dimostrazioni quindi può essere che abbia frainteso l'applicabilità dell'induzione: credevo potesse essere utilizzata anche a livello logico (per il numero degli elementi) e non solo a livello numerico.
Vi ringrazio per i chiarimenti.
Per quanto riguarda la dimostrazione l'ho modificata così:
Presi un insieme di n numeri ognuno con una propria fattorizzazione se i numeri non hanno fattori in comune l'affermazione è verificata perchè
$MCD(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = 1$
$m.c.m.(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = a_1*a_2*a_3*...*a_n$
Se invece c'è almeno un fattore in comune fra i numeri presi in considerazione allora il MCD sarà composto da tutti fattori in comune, ognuno con un esponente
$a = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) $ dove le $S$ corrispondono alle varie somme di tutti gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione dei vari numeri. In ogni somma manca però l'esponente dell'ennesimo fattore.
Il m.c.m. sarà invece il prodotto di tutti i fattori comuni e non.
I fattori comuni compariranno con esponente
$b = max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)$ dove le $\alpha$ identificano gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione di ogni numero.
Il prodotto $P$ tra m.c.m. e M.C.D. Sarà quindi uguale al prodotto di tutti i fattori, comuni e non, in cui i fattori comuni compaiono con esponente
$m = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) + max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = \alpha_1 + \alpha_2 + … + \alpha_n$ (nella somma finale compaiono tutti gli esponenti).
Poiché questo ragionamento vale per tutti i fattori allora il prodotto tra m.c.m. e M.C.D. è uguale al prodotto dei vari numeri.
Stavolta dovrebbe essere giusta no?
Se io dimostro l'affermazione per n numeri e per n+1 numeri poi non è automaticamente dimostrata anche per $n+m$ numeri con $m in NN$?
Sono nuovo nel campo delle dimostrazioni quindi può essere che abbia frainteso l'applicabilità dell'induzione: credevo potesse essere utilizzata anche a livello logico (per il numero degli elementi) e non solo a livello numerico.
Vi ringrazio per i chiarimenti.
Per quanto riguarda la dimostrazione l'ho modificata così:
Presi un insieme di n numeri ognuno con una propria fattorizzazione se i numeri non hanno fattori in comune l'affermazione è verificata perchè
$MCD(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = 1$
$m.c.m.(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = a_1*a_2*a_3*...*a_n$
Se invece c'è almeno un fattore in comune fra i numeri presi in considerazione allora il MCD sarà composto da tutti fattori in comune, ognuno con un esponente
$a = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) $ dove le $S$ corrispondono alle varie somme di tutti gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione dei vari numeri. In ogni somma manca però l'esponente dell'ennesimo fattore.
Il m.c.m. sarà invece il prodotto di tutti i fattori comuni e non.
I fattori comuni compariranno con esponente
$b = max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)$ dove le $\alpha$ identificano gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione di ogni numero.
Il prodotto $P$ tra m.c.m. e M.C.D. Sarà quindi uguale al prodotto di tutti i fattori, comuni e non, in cui i fattori comuni compaiono con esponente
$m = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) + max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = \alpha_1 + \alpha_2 + … + \alpha_n$ (nella somma finale compaiono tutti gli esponenti).
Poiché questo ragionamento vale per tutti i fattori allora il prodotto tra m.c.m. e M.C.D. è uguale al prodotto dei vari numeri.
Stavolta dovrebbe essere giusta no?
Sono nuovo nel campo delle dimostrazioni quindi può essere che abbia frainteso l'applicabilità dell'induzione: credevo potesse essere utilizzata anche a livello logico (per il numero degli elementi) e non solo a livello numerico.
Vi ringrazio per i chiarimenti.
Per quanto riguarda la dimostrazione l'ho modificata così:
Presi un insieme di n numeri ognuno con una propria fattorizzazione se i numeri non hanno fattori in comune l'affermazione è verificata perchè
$MCD(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = 1$
$m.c.m.(a_1, a_2, a_3,..., a_n) = a_1*a_2*a_3*...*a_n$
Se invece c'è almeno un fattore in comune fra i numeri presi in considerazione allora il MCD sarà composto da tutti fattori in comune, ognuno con un esponente
$a = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) $ dove le $S$ corrispondono alle varie somme di tutti gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione dei vari numeri. In ogni somma manca però l'esponente dell'ennesimo fattore.
Il m.c.m. sarà invece il prodotto di tutti i fattori comuni e non.
I fattori comuni compariranno con esponente
$b = max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)$ dove le $\alpha$ identificano gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione di ogni numero.
Il prodotto $P$ tra m.c.m. e M.C.D. Sarà quindi uguale al prodotto di tutti i fattori, comuni e non, in cui i fattori comuni compaiono con esponente
$m = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) + max(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = \alpha_1 + \alpha_2 + … + \alpha_n$ (nella somma finale compaiono tutti gli esponenti).
Poiché questo ragionamento vale per tutti i fattori allora il prodotto tra m.c.m. e M.C.D. è uguale al prodotto dei vari numeri.
Stavolta dovrebbe essere giusta no?
"Edex":
\(\displaystyle a = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) \) dove le S corrispondono alle varie somme di tutti gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione dei vari numeri. In ogni somma manca però l'esponente dell'ennesimo fattore.
a parte che non ho capito molto bene questa frase, la dimostrazione mi sembra corretta
"Edex":
Se io dimostro l'affermazione per n numeri e per n+1 numeri poi non è automaticamente dimostrata anche per $ n+m $ numeri con $ m in NN $?
Sono nuovo nel campo delle dimostrazioni quindi può essere che abbia frainteso l'applicabilità dell'induzione: credevo potesse essere utilizzata anche a livello logico (per il numero degli elementi) e non solo a livello numerico.
Vi ringrazio per i chiarimenti.
guarda,l'induzione classica funziona cosi:
mi dimostro il passo base,cioè da dove voglio partire,e se esso è vero, passo a dimostrarmi il passo induttivo,cioè che se vale per un generico n vale anche per il successivo, se riusciamo a dimostrare anche questo abbiamo finito.
infatti se prendiamo per esempio il passo base=0 e verifichiamo che se vale per un n vale anche per il successivo,possiamo dire "vale per 0,ma prendendo n=0 si ha che vale anche per n+1=1,ma se prendiamo adesso n=1,vale anche per 2 ecc."
proviamo a dimostrare tramite l'induzione che la somma dei primi n naturali sia \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \)
facciamo il passo base mettendo n=0,funziona infatti 0 è la somma dei primi 0 naturali.
ora si deve dimostrare che se vale per un generico n,vale anche per il successivo
supponiamo \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=1+2+3...+n \) ,ora aggiungiamoci l'n+1-esimo termine,abbiamo che \(\displaystyle 1+2+3....+n+ n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+2)(n+1)}{2} \) con un po di conti, e notiamo che l'ultima formula si ottiene sostituendo n+1 a n
poi ci sono molti altri modi per usare l'induzione e col tempo imparerai anche a trovarne di nuovi tu stesso magari applicabili in maniera logica e non solo numerica.
Per quanto riguarda questo problema la forma di induzione che hai trovato potrebbe anche essere valida,pero non prima di aver detto altre cose perche cosi non basta.
"Edex":
Se invece c'è almeno un fattore in comune fra i numeri presi in considerazione allora il MCD sarà composto da
$a = min(S_1, S_2, S_3,..., S_n) $ dove le $S$ corrispondono alle varie somme di tutti gli esponenti con cui l'elemento preso in considerazione compare nella fattorizzazione dei vari numeri. In ogni somma manca però l'esponente dell'ennesimo fattore.
Con quell'affermazione mi riferivo agli esponenti dei fattori nei prodotti di cui si deve fare il MCD. In ogni elemento infatti compaiono tutti i numeri tranne uno, quindi l'esponente del fattore in considerazione sarà dato dalla somma di tutti gli esponenti tranne quello del numero che non compare nel prodotto. È questo il significato che ho dato alle S, capito?
Per quanto riguarda l'induzione invece, cosa intendi per altre cose da dire per far valere il tipo di induzione che ho usato?
per l'induzione, intendevo dire che senza dimostrare appunto che se vale per 2 e per 3 vale anche per 2+m la soluzione non è corretta,la classica induzione che va da n a n+1 e fa il passo base e intuitivamente corretta oltre che fatto noto,pero quella che hai scritto tu non puo essere dato per scontato proprio perche non è un fatto noto, e per questo devi dimostrare che effettivamente vale.
si si ora ho capito la frase,hai fatto il contrario di quello che ho fatto io e cio mi stava creando problemi a quest'ora
si si ora ho capito la frase,hai fatto il contrario di quello che ho fatto io e cio mi stava creando problemi a quest'ora
Ok quindi avrei dovuto in realtà dimostrare come ho fatto dopo, cioè per un insieme di n termini,affinché fosse valida, ho capito bene?
Come l'hai dimostrato dopo va bene, l'hai fatto direttamente senza usare l'induzione.
A questo punto metto l'altro tipo di dimostrazione:
A questo punto metto l'altro tipo di dimostrazione:
Ciao, ho provato a dare una dimostrazione alternativa, forse più semplice, che si basa sulle proprietà di MCD e mcm.
Supponiamo a,b diverso da 0
Dimostriamo che $ MCD(a,b)*mcm(a,b)=ab $
$ MCD(a,b)*mcm(a,b) = MCD( a*mcm(a,b) , b*mcm(a,b) ) $
questo grazie alla proprietà $ z*MCD(x,y)=MCD(xz,yz) $
$ MCD( a*mcm(a,b) , b*mcm(a,b) ) = MCD( a^2 * mcm(1,b/a) , b^2 * mcm(a/b , 1)) $
questo grazie alla proprietà $ mcm(x,y)=z*mcm(x/z , y/z) $ con z diverso da 0
$ MCD( a^2 * mcm(1,b/a) , b^2 * mcm(a/b , 1)) = MCD(a^2 * b/a , b^2 * a/b) = MCD(ab , ab) = ab$
Se $ a=0 $
$ 0*b = MCD(0,b)*mcm(0,b) $
$ 0 = b*0 $ vero per ogni b
Se $ b=0 $ il caso è analogo al precedente
Se $ a=b=0 $
$ 0*0 = MCD(0,0)*mcm(0,0) $
$ 0 = MCD(0,0)*0 $
$ 0=0 $ vero
Supponiamo a,b diverso da 0
Dimostriamo che $ MCD(a,b)*mcm(a,b)=ab $
$ MCD(a,b)*mcm(a,b) = MCD( a*mcm(a,b) , b*mcm(a,b) ) $
questo grazie alla proprietà $ z*MCD(x,y)=MCD(xz,yz) $
$ MCD( a*mcm(a,b) , b*mcm(a,b) ) = MCD( a^2 * mcm(1,b/a) , b^2 * mcm(a/b , 1)) $
questo grazie alla proprietà $ mcm(x,y)=z*mcm(x/z , y/z) $ con z diverso da 0
$ MCD( a^2 * mcm(1,b/a) , b^2 * mcm(a/b , 1)) = MCD(a^2 * b/a , b^2 * a/b) = MCD(ab , ab) = ab$
Se $ a=0 $
$ 0*b = MCD(0,b)*mcm(0,b) $
$ 0 = b*0 $ vero per ogni b
Se $ b=0 $ il caso è analogo al precedente
Se $ a=b=0 $
$ 0*0 = MCD(0,0)*mcm(0,0) $
$ 0 = MCD(0,0)*0 $
$ 0=0 $ vero
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