Matematica dubbi e perplessità!

[gabdia]

Lascio alcuni esercizi,scusate se sono tanti ma ho bisogno di capire i vari passaggi per svolgerli:

696) Filippo per montare una scala impiega 6 ore.
Quanto tempo gli occorrerà per montarne 5?
Risultato: 1 g 6 h

704) Qual è la lunghezza dei tre lati di un triangolo il
cui perimetro misura 90 centimetri, sapendo che
i lati sono direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5?
Risultato: 18, 27 e 45 centimetri

768) Sapendo che il padre di Monica ha 72 anni e
che l'età di Monica è i 2/3 dei 7/8 dell'età di suo
padre, quanti anni ha Monica?
Risultato: 42

784) Sottraendo uno stesso numero rispettivamente a
34, 16, 25, 13 si ottiene, nell'ordine dato una
proporzione. Qual è il numero?
Risultato: 7

819) Se su un terreno, di forma quadrata, che ha il
lato lungo 20 m, sono piantati 3 alberi ogni 25
m², qual è il numero complessivo di alberi
piantati?
Risultato: 48

Sono esercizi importanti,se riuscite ad illustrarmi per tutti i vari passaggi ve ne sarei grato. Grazie a tutti!

[xAle2]

Ciao gabdia,
con tutto il rispetto se trovi così tante difficoltà, su quesiti di questo tipo, da non sapere risalire ad un procedimento anche con l'ausilio del risultato ricevere le soluzioni di qualcun altro non ti aiuterà di certo. Ti consiglio di prendere dei testi scolastici medie/superiori (ce ne sono di gratuitamente scaricabili proprio qui su matematicamente.it!) e di iniziare a studiare. Per esempio il quesito 768 riguarda le frazioni. Studiati il relativo capitolo e vedrai che non avrai nessun tipo di difficoltà. Ti consiglio inoltre di pensare un tempo ragionevole su ogni quesito prima di andare a vedere la soluzione e/o chiedere aiuto. Questo perchè il quesito 696 mi fa pensare che tu non lo faccia minimamente. 1 scala 6 ore dunque 5 scale 30 ore. Un giorno è composto da 24 ore 30-24=6 ore quindi 1 giorno e 6 ore. Questo ragionamento è veramente alla portata tutti, mi rifiuto di credere che tu non ci possa arrivare.

Saluti,
Alessio

[Erasmus_First]

"xAle":[...] Ti consiglio di prendere dei testi scolastici medie/superiori

Beh: tranne l'esercizio 784) il livello mi pare più quello delle elementari che quello delle medie!
Il 748) lo vedo del livello della terza media dei miei tempi, quando si studiava un po' di algebra e si risolvevano equazioni algebriche di 1° grado. [E sarei in seria difficoltà se mi si chiedesse di risolverlo senza l'uso di una equazioncina ad hoc. ]

Voglio tuttavia cercare di essere utile a gabdia spiegandogli come si procede in ciascuno di questi esercizi.

696) Filippo per montare una scala impiega 6 ore.
Quanto tempo gli occorrerà per montarne 5?
La somma di addendi tutti uguali è il prodotto del numero di addendi per il valore del singolo addendo.
Il prodotto di due numeri, di cui uno è il "moltiplicatore" e l'altro il "moltiplicando", è – per definizione! – la somma di tanti addendi tutti uguali al moltiplicando ripetuti un numero di volte uguale al moltiplicatore. In formula:

p·b significa:
b  +  b  + b  + b  + ... + b
1     2    3    4   ...    p  volte

Nel caso dell'esercizio, siccome Filippo impiega 6 h a montare una scala, il tempo che egli mpiega a montarne 5 è:
(6+6+6+6+6) h = 5·6 h = 30 h.
E' però inutile scrivere la somma dei 5 addendi ciascuno uguale a 6, (ossia 6 + 6 + 6 + 6 + 6 ), dato che per definizione di prodotto essa varrà 5·6.
[Siccome un giorno ha 24 ore, il tempo di 1 giorno e 6 ore è 30 ore. Ma non credo che Filippo lavori per 30 ore consecutive senza sosta! Perciò mi pare aberrante la risposta "1 g 6 h" invece di "30 h".]

704) Qual è la lunghezza dei tre lati di un triangolo il cui perimetro misura 90 cm, sapendo che i lati sono direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5?
Un triangolo con i lati di lunghezza 2, 3 e 5 cm ha il perimetro di lunghezza (2 + 3 + 5) cm = 10 cm.
Il dato triangolo ha il perimetro di 90 cm, ossia lungo 90/10 = 9 volte il perimetro del triangolo di lati 2, 3 e 5 cm.
Se i due triangoli hanno la stessa forma (ossia se i lati di uno sono proporzionali ai lati dell'altro), anche ciascun lato del triangolo di perimetro 90 cm sarà 9 volte più lungo del corrispondente lato di quello di perimetro 10 cm.
La soluzione è quindi in due passi.
a) Trovo il rapporto di proporzione : r = 90/(2 + 3 + 5) = 90/10 = 9.
b) Trovo i singoli lati: 9·[2, 3, 5] cm = [9·2, 9·3, 9·5] cm = [18, 27, 45] cm,

768) Sapendo che il padre di Monica ha 72 anni e che l'età di Monica è i 2/3 dei 7/8 dell'età di suo padre, quanti anni ha Monica?
Il prodotto di due frazioni è la fraziione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. In formula:
$p/q·m/n = (p·m)/(q·n)$.
Pertanto "i 2/3 dei 7/8 dell'età di suo padre" vale $2/3·7/8 = 14/24 = 7/12$ dell'età di suo padre (età che é 72 anni).
L'età di Monica è dunque $7/12·72$ anni $= 7·72/12$ anni $= 7·6$ anni $= 42$ anni.

784) Sottraendo uno stesso numero rispettivamente a 34, 16, 25, 13 si ottiene, nell'ordine dato una proporzione. Qual è il numero?
Una "proporzione" non è altro che una uguaglianza di rapporti.
Dire
"A sta a B come C sta a D", (proporzione che che si simboleggia scrivendo "A : B = C : D"), oppure
" A e C sono proporzionali rispettivamente a B e D"
è lo stesso di dire
" sono uguali i rapporti tra A e B e tra C e D", ossia
$A/B = C/D$.
Venendo all'esercizio, detto x il numero (incognito) da sottrarre a ciascun numero per ottenere una proporzione, abbiamo:
$(34 - x)/(16-x) = (25-x)/(13-x)$.
Per risolvere questa equazione occorre tener ben presenti i due "principi algebrici":
a) Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una uguaglianza per la stessa quantità (purché questa sia diversa da zero) si ottiene un'altra uguaglianza equivalente a quella data. In formule:
Se k è diverso da 0, allora "A=B" equivale a "kA= kB" che equivale anche a "A/k = B/k".
b) Sommando o sottraendo la stessa quantitò ad entrambi i membri diu una uguaglianza si ottiene un'altra uguaglianza equivalente a quella data. In formule:
Per qualsiasi k "A = B" equivalente a "A+k = B+ k" che equivale anche a "A - k = B - k".
Dal primo principio, se B e D sono entrambi diversi da zero. abbiamo:
[NB. il simbolo "⇔" significa "equivale a".]
$A/B = C/D$ ⇔ $A/B(BD)=C/D(BD)$ ⇔ $AD = BC$.
[NB. L'equivalenza tra l'uguaglianza $A/B = C/D$ e l'uguaglianza $AD = BC$ ci era nota fin fdalle elementari quando ci insegnavano che "in ogni proporzione il prodotto dei termini estrtemi è uguale al prodotto dei termini medi"].]
Tornando all'esercizio, dalla sua equazione $(34 - x)/(16-x) = (25-x)/(13-x)$ abbiamo dunque:
$(34 - x)(13-x) = (25-x)(16-x)$.
Svolgendo le operazioni troviamo:
$34·13-34x - 13x + x^2 = 25·16-25x -16x + x^2 ⇔ 442 - 47x + x^2 = 400 - 41x + x^2$.
Applicando ora il secondo principio ["non cambia la validità dell'uguaglianza se si aggiunge o si toglie ad entrambi i suoi membri la stessa quantità"], aggiungiamo ad entrambi i membri $47x -400 - x^2$.
[Lo scopo è quello di avere in un membro solo termini senza incognita e nell'altro solo termini con l'incognita].
Riducendo poi i termini simili ricaviamo
$442 - 400 = (47-41)x ⇔ 7 = x$. [Il numero da sottrarre è 7.]
Controlliamo il risultato.
$(34 - 7)/(16 - 7) = 27/9 = 3$; $(25 - 7)/(13- 7) = 18/6 = 3$.
Effettivamente vale la proporzione "27 : 9 = 18 : 6".

819) Se su un terreno, di forma quadrata, che ha il lato lungo 20 m, sono piantati 3 alberi ogni 25 m², qual è il numero complessivo di alberi piantati?
Quanti quadrati da 25 m^2 ciascuno ci stanno in un quadratodi lato 20 m?
L'area di quest'ultimoquadrato è (20·20) m^2 = 400 m^2.
In quest'area ci stanno $400/25 = 16$ quadrati da 25 m^2 ciascuno.
Gli alberi piantati sono dunque 16·3 = 48.

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[@melia]

Posso far notare che nel problema 704 il triangolo non esiste, si tratta di un segmento in quanto il lato più lungo è la somma degli altri due?

[Erasmus_First]

"@melia":[...] nel problema 704 il triangolo non esiste, [...] il lato più lungo è la somma degli altri due

E' vero!
Accidenti, non me n'ero accorto!
[Ho appena letto un post di un certo Claudio che parla (a riguardo si sé stesso!) di "demenza senile galoppante".]
Evidentemente non se n'era accorto nemmeno l'autore del testo di matematica che riporta un siffatto esercizio ... e nemmeno l'eventuale correttore delle bozze di stampa.
Mi consolo: sono decisamente in buona compagnia!
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